added lectures_2023_Ilyinskiy

Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/header.tex

@@ -0,0 +1,191 @@
+%\documentclass[a4paper,12pt, draft]{article}
+\documentclass[12pt,a4paper]{article}
+
+%%% Работа с русским языком
+\usepackage{cmap}					% поиск в PDF
+\usepackage{mathtext} 				% русские буквы в формулах
+\usepackage[T2A]{fontenc}			% кодировка
+\usepackage[utf8]{inputenc}			% кодировка исходного текста
+\usepackage[english,russian]{babel}	% локализация и переносы
+\usepackage{indentfirst}            % красная строка в первом абзаце
+\frenchspacing                      % равные пробелы между словами и предложениями
+
+%%% Дополнительная работа с математикой
+\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm,mathtools} % пакеты AMS
+\usepackage{icomma}                                    % "Умная" запятая
+
+%%% Свои символы и команды
+\usepackage{centernot} % центрированное зачеркивание символа
+\usepackage{stmaryrd}  % некоторые спецсимволы
+\usepackage{dsfont}
+\usepackage{amsthm}
+
+\renewcommand{\epsilon}{\ensuremath{\varepsilon}}
+\renewcommand{\phi}{\ensuremath{\varphi}}
+\renewcommand{\kappa}{\ensuremath{\varkappa}}
+\renewcommand{\le}{\ensuremath{\leqslant}}
+\renewcommand{\leq}{\ensuremath{\leqslant}}
+\renewcommand{\ge}{\ensuremath{\geqslant}}
+\renewcommand{\geq}{\ensuremath{\geqslant}}
+\renewcommand{\emptyset}{\ensuremath{\varnothing}}
+
+\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}
+\DeclareMathOperator{\ke}{Ker}
+\DeclareMathOperator{\im}{Im}
+\DeclareMathOperator{\re}{Re}
+
+\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
+\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
+\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
+\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
+\newcommand{\Cm}{\mathbb{C}}
+\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
+\newcommand{\I}{\mathbb{I}}
+\newcommand{\id}{\mathrm{id}}
+\newcommand{\imp}[2]{
+	(#1\,\,$\ra$\,\,#2)\,\,
+}
+\newcommand{\System}[1]{
+	\left\{\begin{aligned}#1\end{aligned}\right.
+}
+\newcommand{\Root}[2]{
+	\left\{\!\sqrt[#1]{#2}\right\}
+}
+\newcommand{\RR}{\R}
+\newcommand{\NN}{\N}
+\newcommand{\sub}{\subset}
+\newcommand{\sconstr}{\;\vert\;}
+\newcommand{\thus}{\implies}
+
+\newcommand{\defeq}{\vcentcolon= }
+\newcommand{\defev}{\stackrel{\Delta}{\Longleftrightarrow}}
+\newcommand{\deriv}[3][1]{%
+	\ifthenelse{#1>1}{%
+		\frac{\dlta^{#1} {#2}}{\dlta {#3}^{#1}}
+	}{%
+		\frac{\dlta {#2}}{\dlta {#3}}
+	}%
+}
+
+\renewcommand\labelitemi{$\triangleright$}
+
+\let\bs\backslash
+\let\lra\Leftrightarrow
+\let\ra\Rightarrow
+\let\la\Leftarrow
+\let\emb\hookrightarrow
+
+%%% Перенос знаков в формулах (по Львовскому)
+\newcommand{\hm}[1]{#1\nobreak\discretionary{}{\hbox{$\mathsurround=0pt #1$}}{}}
+
+%%% Работа с картинками
+\usepackage{graphicx}    % Для вставки рисунков
+\setlength\fboxsep{3pt}  % Отступ рамки \fbox{} от рисунка
+\setlength\fboxrule{1pt} % Толщина линий рамки \fbox{}
+\usepackage{wrapfig}     % Обтекание рисунков текстом
+
+%%% Работа с таблицами
+\usepackage{array,tabularx,tabulary,booktabs} % Дополнительная работа с таблицами
+\usepackage{longtable}                        % Длинные таблицы
+\usepackage{multirow}                         % Слияние строк в таблице
+
+%%% Теоремы
+\theoremstyle{plain}
+\newtheorem{theorem}{Теорема}[section]
+\newtheorem{lemma}{Лемма}[section]
+\newtheorem{proposition}{Утверждение}[section]
+\newtheorem{property}{Свойство}[section]
+\newtheorem*{exercise}{Упражнение}
+\newtheorem*{problem}{Задача}
+
+\theoremstyle{definition}
+\newtheorem{definition}{Определение}[section]
+\newtheorem*{corollary}{Следствие}
+\newtheorem*{note}{Замечание}
+\newtheorem*{reminder}{Напоминание}
+\newtheorem*{example}{Пример}
+\theoremstyle{remark}
+\newtheorem*{solution}{Решение}
+
+%%% Оформление страницы
+\usepackage{extsizes}     % Возможность сделать 14-й шрифт
+\usepackage{geometry}     % Простой способ задавать поля
+\usepackage{setspace}     % Интерлиньяж
+\usepackage{enumitem}     % Настройка окружений itemize и enumerate
+\setlist{leftmargin=25pt} % Отступы в itemize и enumerate
+
+\geometry{top=25mm}    % Поля сверху страницы
+\geometry{bottom=30mm} % Поля снизу страницы
+\geometry{left=20mm}   % Поля слева страницы
+\geometry{right=20mm}  % Поля справа страницы
+
+\setlength\parindent{15pt}        % Устанавливает длину красной строки 15pt
+\linespread{1.3}                  % Коэффициент межстрочного интервала
+%\setlength{\parskip}{0.5em}      % Вертикальный интервал между абзацами
+%\setcounter{secnumdepth}{0}      % Отключение нумерации разделов
+%\setcounter{section}{-1}         % Нумерация секций с нуля
+\usepackage{multicol}			  % Для текста в нескольких колонках
+\usepackage{soulutf8}             % Модификаторы начертания
+\mathtoolsset{showonlyrefs=true} % показывать номера формул только у тех, у которых есть ссылки по eqref
+%%% Содержаниие
+\usepackage{tocloft}
+\tocloftpagestyle{main}
+%\setlength{\cftsecnumwidth}{2.3em}
+%\renewcommand{\cftsecdotsep}{1}
+%\renewcommand{\cftsecpresnum}{\hfill}
+%\renewcommand{\cftsecaftersnum}{\quad}
+
+%%% Шаблонная информация для титульного листа
+\newcommand{\CourseName}{АЛКТГ}
+\newcommand{\FullCourseNameFirstPart}{\so{АЛГЕБРА ЛОГИКИ, КОМБИНАТОРИКА, ТЕОРИЯ ГРАФОВ}}
+\newcommand{\SemesterNumber}{I}
+\newcommand{\LecturerInitials}{Ильинский Дмитрий Геннадиевич}
+\newcommand{\CourseDate}{осень 2023}
+\newcommand{\AuthorInitials}{Цеденов Артем}
+\newcommand{\VKLink}{https://vk.com/darkness11235}
+\newcommand{\GithubLink}{https://github.com/MIPT-Group/Lectures_Tex_Club}
+
+%%% Колонтитулы
+\usepackage{titleps}
+\newpagestyle{main}{
+	\setheadrule{0.4pt}
+	\sethead{\CourseName}{}{\hyperlink{intro}{\;Назад к содержанию}}
+	\setfootrule{0.4pt}                       
+	\setfoot{ФПМИ МФТИ, \CourseDate}{}{\thepage} 
+}
+\pagestyle{main}  
+
+%%% Нумерация уравнений
+\makeatletter
+\def\eqref{\@ifstar\@eqref\@@eqref}
+\def\@eqref#1{\textup{\tagform@{\ref*{#1}}}}
+\def\@@eqref#1{\textup{\tagform@{\ref{#1}}}}
+\makeatother                      % \eqref* без гиперссылки
+\numberwithin{equation}{section}  % Нумерация вида (номер_секции).(номер_уравнения)
+\mathtoolsset{showonlyrefs= true} % Номера только у формул с \eqref{} в тексте.
+
+%%% Гиперссылки
+\usepackage{hyperref}
+\usepackage[usenames,dvipsnames,svgnames,table,rgb]{xcolor}
+\hypersetup{
+	unicode=true,            % русские буквы в раздела PDF
+	colorlinks=true,       	 % Цветные ссылки вместо ссылок в рамках
+	linkcolor=black!15!blue, % Внутренние ссылки
+	citecolor=green,         % Ссылки на библиографию
+	filecolor=magenta,       % Ссылки на файлы
+	urlcolor=NavyBlue,       % Ссылки на URL
+}
+
+%%% Графика
+\usepackage{tikz}        % Графический пакет tikz
+\usepackage{tikz-cd}     % Коммутативные диаграммы
+\usepackage{tkz-euclide} % Геометрия
+\usepackage{stackengine} % Многострочные тексты в картинках
+\usetikzlibrary{angles, babel, quotes}
+
+%\usepackage{paratype}
+%\usepackage{euler}
+
+%\usepackage{microtype}
+
+%\everymath{\displaystyle}

Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/10lecture.tex

@@ -0,0 +1,95 @@
+%09.03.23
+
+\section{Отношения.}
+
+\begin{definition}
+    \textit{Отношение} -- произвольное подмножество декартово произведения непустых множество $A, B.$ То есть это  множество $R \subseteq A \times B.$ При этом $$(a, b) \in R \Longleftrightarrow a R b.$$
+    Также 
+    $$\forall a \in A: R(a) = \{ b \in B| (a, b) \in R\}.$$
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    Отношение $R$ \textit{функционально}, если $R$ -- функция, то есть $$\forall a \in A \ |R(a)| \leq 1.$$ 
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    Отношение $R$ \textit{(лево) тотальное}, если $R$ -- функция, то есть $$\forall a \in A \ |R(a)| \geq 1.$$ 
+    Отношение $R$ \textit{право-тотальное}, если $R$ -- функция, то есть $$\forall b \in B \  \exists a \in A: (a, b) \in R.$$ 
+    Отношение $R$ \textit{инъективное}, если при $a' \neq a \ \  R(a) \cap R(a') = \varnothing.$ 
+\end{definition}
+
+\subsection{Бинарное отношение.}
+
+\begin{definition}
+    Подмножеством декартового произведения $A \times A$ называется \textit{бинарным отношением.}
+\end{definition}
+
+У такого отношения есть могут быть следующие свойства:
+\begin{enumerate}
+    \item Рефлексивность: $\forall a \in A \ a R a$
+    \item Симметричность: если $a R b,$ то $b R a$
+    \item Транзитивность: если $a R b$ и $b R c,$  то $a R c.$
+\end{enumerate}
+
+\begin{definition}
+    Если бинарное отношение обладает этими свойствами, то его называют \textit{отношением эквивалентности.}
+\end{definition}
+
+\begin{example}
+    Равенство треугольников -- является отношением эквивалентности.
+\end{example}
+
+\begin{example}
+    Компонент связности в графе. Пусть $v, w \in V$ эквивалентны, если $\exists$ путь из $v$ в $w.$
+\end{example}
+
+
+\subsection{Класс эквивалентности.}
+
+\begin{definition}
+    Пусть задано множество $A,$  $R-$ отношение эквивалентности на $A.$ Тогда 
+    $$R_{a} = [a]_{R} = [a] = \{ b \in A | \  a R b\}.$$
+\end{definition}
+
+\begin{proposition}
+    Если $b, c \in [a],$ то $bRc.$
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+$b, c \in [a] \Longrightarrow aRb, aRc \Longrightarrow bRc.$
+\end{proof}
+
+\begin{proposition}
+    $a, b \in A \Longrightarrow [a] \cup [b] = \varnothing \vee [a] = [b].$
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+    Пусть пересечение не пусто, есть общий элемент $x.$ Тогда 
+    $aRx, \ bRx \Longrightarrow aRx, \ xRb \Longrightarrow a R b \Longrightarrow [b] \subseteq [a].$
+    Аналогично доказывается другое дополнение.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+    \textit{Разбиение} множества $A$ -- это набор непересекающихся подмножеств $f \subseteq 2^A$ такой, что 
+    $$A = \underset{S \in f}{\cup} S.$$
+\end{definition}
+
+\begin{theorem}
+    Пусть $A, R-$ отношение эквивалентности. Тогда $A$ разбивается на классы эквивалентности по отношению $R.$
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Это вытекает из утверждения $6.1.$
+\end{proof}
+
+\begin{proposition}
+    Есть биекция между отношением эквивалентности на $A$ и разбиением $A$ на подмножества.
+\end{proposition}
+
+\subsection{Операции с отношениями.}
+
+Можно брать объединение отношений, пересечение, дополнение.
+
+\begin{definition}
+    $$R^{-1} \subseteq B \times A, (b, a) \in R^{-1} \Longleftrightarrow (a, b) \in R.$$
+\end{definition}