hw05.tex

\documentclass[draft]{article}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{cmap}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[all]{xy}

\newcommand{\cat}[1]{\mathbf{#1}}
\renewcommand{\C}{\cat{C}}
\newcommand{\D}{\cat{D}}
\newcommand{\Set}{\cat{Set}}
\newcommand{\FinSet}{\cat{FinSet}}
\newcommand{\Grp}{\cat{Grp}}
\newcommand{\Ab}{\cat{Ab}}
\newcommand{\Hask}{\cat{Hask}}
\newcommand{\Mat}{\cat{Mat}}
\newcommand{\Num}{\cat{Num}}

\begin{document}

\title{Задания}
\maketitle

\begin{enumerate}

\item Пусть $F : \C \to \D$ -- некоторый функтор.
Какие из следующих утверждений верны?
Как изменится ответ, если предположить, что $F$ -- изоморфизм категорий?
\begin{enumerate}
\item Если $f : X \to Y$ -- мономорфизм в $\C$. то $F(f)$ -- мономорфизм в $\D$.
\item Если $X$ -- (ко)предел диаграммы $D : \cat{J} \to \C$, то $F(X)$ -- (ко)предел диграммы $F \circ D : \cat{J} \to \D$.
\end{enumerate}

\item Пусть $\cat{Cat}$ -- категория малых категорий.
Ее объекты -- это малые категории.
Морфизмы в категории $\cat{Cat}$ -- это функторы между категориями.

Пусть $\cat{Graph}$ -- категория графов.
Ее объекты -- графы, то есть пары $(V,E)$, состоящие из множества вершин $V$ и функции $E$, сопоставляющей каждой паре вершин $x,y \in V$ множество $E(x,y)$ ребер из $x$ в $y$.

Морфизм графов $(V,E)$ и $(U,D)$ состоит из функции $f : V \to U$ и функции $f : E(x,y) \to D(f(x), f(y))$ для всех $x,y \in V$.
Композиция и тождественные морфизмы определены очевидным образом.

Определите забывающий функтор из $\cat{Cat}$ в $\cat{Graph}$.
Докажите, что этот функтор строгий.

\item Докажите, что если $F : \C \to \C$ -- некоторый эндофунктор, то начальная $F$-алгебра $X$ удовлетворяет уравнению $X \simeq F(X)$.

\end{enumerate}

\end{document}