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数学	[[--微积分--]]	Cyletix	12

目录

• [[常数项级数]]
• [[常数项级数审敛法]]
• [[调和级数]]
• [[函数项级数]]
• [[幂级数]]
• [[函数展开成幂级数]]
• [[微分方程的幂级数解法]]
• [[欧拉公式]]
• [[几何级数]]
• [[傅里叶级数]]

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GPT-4

1. 级数的概念：

   • 定义：级数是由一列数相加而得到的无穷和的表达式
   • 部分和与数列之间的关系

2. 级数收敛与发散：

   • 收敛级数：当级数的部分和随着项数增加而趋于一个有限的极限时，称该级数为收敛级数
   • 发散级数：当级数的部分和随着项数增加而趋于无穷大或无穷小时，称该级数为发散级数
   • 收敛级数的条件：比较判别法、比值判别法、根值判别法、积分判别法等

3. 常见级数：

   • 等比数列级数：如几何级数
   • 调和级数：形如 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... 的级数
   • 幂级数：形如 ∑(a_n * x^n)，其中 a_n 是数列，x 是变量
   • Taylor级数：函数的幂级数展开
   • Fourier级数：用三角函数展开周期函数

4. 级数的运算：

   • 级数的加法与减法
   • 级数的乘法
   • 级数的除法

5. 绝对收敛与条件收敛：

   • 绝对收敛：级数的各项取绝对值后收敛
   • 条件收敛：级数本身收敛，但去掉绝对值后不再收敛

6. 幂级数的收敛域：

   • 幂级数的收敛半径与收敛区间

7. 级数收敛的应用：

   • 泰勒级数在函数展开中的应用
   • Fourier级数在信号处理与振动分析中的应用

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Wikipedia

级数（英语：Series）代表某序列之和，例如序列 $a_1, a_2, a_3, a_4, \ldots$ 的级数 $S_n$ 可以表示成 $S_n = a_1 + \ldots + a_n$，如果被取和的序列是有穷序列，相对应的级数被称为有穷级数；反之，称为无穷级数。常见的级数包括等差数列和等比数列的级数。

级数本身也是一种序列（代表加到第 $n$ 项）。就跟普通序列一样，级数的通项可以是实数、矩阵或向量等常量，也可以是关于其他变量的函数，不一定是一个数，但某序列要能定义相应级数，前提是必须要有加法（如实数加法、向量加法与矩阵加法等等）。

如果某级数来自于对常数序列取和，则称之为常数（项）级数，如果来自于函数序列，则称之为函数（项）级数。

无穷级数不像有穷级数可以加到最后一项，所以作为替代，通常会尝试将项数趋近于无穷大来取“最终的和”，具体来说，也就是对级数 $S_n$ 取极限 $\lim_{n \to \infty} S_n$。如果这个极限存在，会仿造数列极限，将这个无穷级数称为收敛的（convergent）；反之称为发散的（divergent）。（而且要能定义极限还需要距离来比较远近）