如果区间 $I$ 上，
$F'(x) = f(x)$
则称 $F(x)$ 是函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的一个原函数(反函数 antiderivative)
$f(x)$ 是 $F(x)$ 的导数，$F(x)$ 就是 $f(x)$ 的一个原函数。
原函数存在定理 ：
连续函数一定有原函数。
不连续的函数不一定有原函数。
原函数并不唯一。
在区间 $I$ 上，函数 $f(x)$ 的带有任意常数项的原函数，称为 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的不定积分，记作 $\displaystyle\int f(x)dx$.
$x$ 称为积分变量
函数 $f(x)$ 的原函数的图形称为 $f(x)$ 的积分曲线（Integral curves）。
求不定积分得到的是积分曲线族。
由不定积分的定义知道：
每一个导数公式都对应着一个积分公式：
$\displaystyle F'(x) = f(x) \Rightarrow \int f(x)dx = F(x) + C$
| 积分 |
结果 |
|
$\displaystyle\int x^{\mu}dx$ $(\mu \neq -1)$
|
$\displaystyle\frac{x^{\mu+1}}{\mu + 1} + C$ |
| $\displaystyle\int k dx$ |
$kx + C$ |
| $\displaystyle\int \frac{1}{x^{2}}dx$ |
$\displaystyle -\frac{1}{x} + C$ |
| $\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{x}}dx$ |
$2\sqrt{x} + C$ |
| $\displaystyle\int \frac{1}{x}dx$ |
$\ln{ |
| $\displaystyle\int \frac{1}{1+x^{2}}dx$ |
$arctanx + C$ |
| $\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx$ |
$arcsinx + C$ |
| $\displaystyle\int-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx$ |
$arccosx + C$ |
| $\displaystyle\int cosx dx$ |
$sinx + C$ |
| $\displaystyle\int sinxdx$ |
$-cosx + C$ |
| $\displaystyle\int\frac{1}{cos^{2}x}dx = \int sec^{2}xdx$ |
$tanx + C$ |
| $\displaystyle\int\frac{1}{sin^{2}x}dx=\int csc^{2}x dx$ |
$-cotx + C$ |
| $\displaystyle\int secxtanx dx$ |
$secx + C$ |
| $\displaystyle \int cscx cotx dx$ |
$-cscx + C$ |
| $\displaystyle\int e^{x} dx$ |
$e^{x} + C$ |
| $\displaystyle\int a^{x} dx$ |
$\displaystyle\frac{a^{x}}{\ln a} + C$ |
| $\displaystyle\int shx dx$ |
$chx + C$ |
| $\displaystyle\int chx dx$ |
$shx + C$ |
$\displaystyle\int F'(x)dx = F(x) + C$
$\displaystyle[\int f(x)dx]'=[F(x) + C]'=F'(x) = f(x)$
即
微分运算与不定积分的运算是互逆的。
|
不定积分的线性性质 |
| (1) |
$\displaystyle \int [f(x) \pm g(x)]dx = \int f(x)dx \pm g(x)dx$ |
| (2) |
$\displaystyle \int k f(x)dx = k \int f(x)dx$ $(k \neq 0)$
|
此性质可以推广到有限多个函数之和(差)的情况
分段函数求原函数时，需要注意分段点的连续性和可导性。
例如，符号函数在其定义域内没有原函数。
可以证明：导函数没有第一类间断点。所以有第一类间断点 $x_{0}$ 的函数 $f(x)$ 在包含 $x_{0}$ 的区间内没有原函数。
但是有第二类间断点的函数可能有原函数。
设 $\displaystyle \int f(u)du = F(u) + C$ $F'(u) = f(u)$
所以 $\displaystyle \int f[\varphi (x)] \varphi'(x) dx = F[\varphi(x)] + C = [\int f(u)du]_{u=\varphi'(x)}$
所以 $\varphi'(x)dx = d\varphi(x)$
凑微分法实际上是复合函数微分的逆过程。
| 积分 |
结果 |
| $\displaystyle \int \frac{1}{ax+b}dx$ |
$\displaystyle \frac{1}{a}\ln{ |
| $\displaystyle \int\frac{1}{a^{2}+x^{2}}dx$ |
$\displaystyle\frac{1}{a}arctan\frac{x}{a} + C$ |
| $\displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}dx$ |
$\displaystyle arcsin\frac{x}{a} + C$ |
| $\displaystyle \int\frac{1}{x^{2}-a^{2}}$ |
$\displaystyle \frac{1}{2a}\ln{ |
| $\displaystyle\int\frac{1}{x^{2}-a^{2}}dx$ |
$\displaystyle \frac{1}{a-b}\ln{ |
| $\displaystyle \int f(x^{n})x^{n-1}dx$ |
$\displaystyle \frac{1}{n}\int f(x^{n})dx^{n}$ |
| $\displaystyle\int \frac{f(\ln{x})}{x}dx$ |
$\displaystyle\int f(\ln{x})d\ln{x}$ |
| $\displaystyle\int f(e^{x})e^{x}dx$ |
$\displaystyle\int f(e^{x})de^{x}$ |
| $\displaystyle \int tanx dx$ |
$-\ln{ |
| $\displaystyle \int f(cosx)sinx dx$ |
$\displaystyle -\int f(cosx)dcosx$ |
| $\displaystyle\int f(sinx)cosxdx$ |
$\displaystyle\int f(sinx)dsinx$ |
| $\displaystyle \int cotxdx$ |
$\ln{ |
| $\displaystyle \int secxdx$ |
$\displaystyle\ln{ |
| $\displaystyle \int cscxdx$ |
$\displaystyle \ln{ |
| $\displaystyle \int cos^{2}x$ |
$\displaystyle \frac{x}{2} + \frac{sin2x}{4} + C$ |
| $\displaystyle \int sin^{2}x dx$ |
$\displaystyle \frac{x}{2} - \frac{sin2x}{4} + C$ |
| $\displaystyle \int \frac{arctanx}{1+x^{2}}dx$ |
$\displaystyle \int f(arctanx)darctanx$ |
| $\displaystyle \int \frac{f(tanx)}{cos^{2}x}dx$ |
$\displaystyle \int f(tanx)dtanx$ |
| $\displaystyle\int \frac{f(cotx)}{sin^{2}x}dx$ |
$\displaystyle - \int f(cotx)dcotx$ |
| $\displaystyle\frac{1}{1+cosx}dx$ |
$\displaystyle dtan\frac{x}{2}$ |
| $\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}}dx$ |
$\displaystyle d\sqrt{x^{2}+a^{2}}$ |
设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续， $x=\phi(t)$ 单调、可导，又 $F(t)$ 是 $f[\phi (t)] \phi'(t)$ 的原函数，则
$\displaystyle \int f(x) dx = F[\varphi^{-1}(x)] + C$
|
有理代换 |
解题思路 |
| 1 |
$\displaystyle \int f(\sqrt[n]{ax + b})dx$ |
$ u = \sqrt[n]{ax+b} ,\ \displaystyle x=\frac{1}{a}(u^{n} - b),\ \displaystyle dx = \frac{n}{a}u^{n-1}du, \ \displaystyle \int f(\sqrt[n]{ax + b})dx = \int f(u)\cdot \frac{n}{a} u^{n-1}du。$ |
| 2 |
$\sqrt[k]{x}, ..., \sqrt[l]{x} $ |
$当被积函数含有两种以上的根式,\ \sqrt[k]{x}, ..., \sqrt[l]{x} 时，\ 可令 x = t^{n},其中 n 为各根指数的最小公倍数。$ |
| 3 |
$\displaystyle \int \sqrt{\frac{ax + b}{cx + d}}$ |
$\displaystyle 令 t = \sqrt{\frac{ax + b}{cx + d}}, \ 得到 x = x(t)。$ |
| 4 |
$\displaystyle \int \sqrt{\frac{a+x}{a-x}}dx$ |
$\displaystyle =\int\frac{a+x}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}dx \ \displaystyle = \int\frac{a}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}dx + \int\frac{x}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}dx\ \displaystyle = a\cdot arcsin\frac{x}{a} - \sqrt{a^{2} - x^{2}} + C$ |
| 5 |
$\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1+e^{x}}}dx$ |
$t=\sqrt{e^{x} + 1}, \ x=\ln{(t^{2} - 1)}, \ \displaystyle dx = \frac{2t}{t^{2} - 1}dt, \ \displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{1+e^{x}}}dx = \int\frac{2}{t^{2} - 1}dt\ \displaystyle = \int(\frac{1}{t-1} - \frac{1}{t+1})dt \ \displaystyle= \ln{ |
|
三角代换 |
解题思路 |
| 1 |
$\displaystyle \int f(\sqrt{a^{2} - x^{2}})dx$ |
$1 - sin^{2}x = cos^{2}x, \ x = asint, \ dx = acostdt, \ a^{2}-(asint)^{2} =(acost)^{2}. $ |
| 2 |
$\displaystyle \int f(\sqrt{x^{2} + a^{2}})dx$ |
$tan^{2}x + 1 = sec^{2}x, \ x = atant, \ (atant)^{2} + a^{2} = (asect)^{2}.$ |
| 3 |
$\displaystyle\int (\sqrt{x^{2} - a^{2})}dx$ |
$sec^{2}x - 1 = tan^{2}x, \ x = asect, \ (asect)^{2} - a^{2} = (atant)^{2}.$ |
