一.微分中值定理（Mean Value Theorems） 三个微分中值定理之间是等价的。
当 $F(x) = x$ 时，柯西中值定理则可以转化成拉格朗日中值定理，当 $f(a) = f(b)$ 时，拉格朗日中值定理可以转化成罗尔定理。
但证明过程，则是由罗尔定理推到出柯西和拉格朗日。
设函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某个邻域内有定义，$f(x)$ 在 $x_{0}$ 处可导且在 $x_{0} $ 处取得极值，则必有 $f'(x_{0})=0$ 。
设函数 $f(x)$ 满足以下三个条件：
(1) $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续；
(2) $f(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 内可导；
(3) 端值相等：$f(a)=f(b)$，
则存在 $\xi\in(a,b)$ ，使得 ${\color{red}f\color{red}'\color{red}(\color{red}\xi\color{red})\color{red}=\color{red}0}$ 。
罗尔定理中，缺少任何一个条件，导数的零点将可能不存在，以下是哪个函数在相应的区间内没有导数为零的点：
推论一：
可导函数的每两个零点之间有一个导数的零点，导函数的每两个零点之间有一个二阶导数的零点。
驻点：一阶导数的零点。
拐点：二阶导数的零点。
推论二：
如果 $f'(x) \neq 0$ ，则方程 $f(x)=0$ 不可能有两个根。
设函数 $f(x)$ 满足以下两个条件：
(1) $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续；
(2) $f(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 内可导；
则存在 $\xi\in(a,b)$ ，使得：
$$
\begin{align}
\frac{f(b)-f(a)}{b-a}&=f'(\xi)\
\
或,,,,f(b)-f(a)&=f'(\xi)(b-a)
\end{align}
$$
拉格朗日中值定理的推论：
1.常数的导数恒为 0 ，
在一区间上导数恒为零的函数必为常值函数。
2.在一区间上导数恒等的两个函数只相差一个常数。
恒等式的证明：$f'(x)\equiv 0\Rightarrow f(x)\equiv C$
设函数 $f(x)$ 和 $F(x)$ 满足以下条件：
(1) 在闭区间 $[a,b]$ 上连续；
(2) 在开区间 $(a,b)$ 内可导；
(3) $F'(x)\neq 0$ ；
则存在 $\xi\in(a,b)$ ，使得：
$\frac{[f(b)-f(a)]}{[F(b)-F(a)]}=\frac{f'(\xi)}{F’(\xi)}$
证明过程: 作辅助函数 $\varphi({\color{red}x})=[F(b)-F(a)]f({\color{red}x})-[f(b)-f(a)]F({\color{red}x})$ ，然后用罗尔定理
ps: 用拉格朗日中值定理是不对的。
洛必达法则是计算未定时极限的一种运算法则。
未定时：$\lim\frac{f(x)}{F(x)}$ $\frac{0}{0}$ 型 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型
洛必达法则可以多次使用。
设
(1) $\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}f(x) =0$ $\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}F(x)=0$ ；
(2) 两个函数在 $a$ 的某个去心领域可导。且 $F(x)$ 的导数不等于 0；
(3) 极限 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{F'(x)}=A(\infty)$
则 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{F(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{F'(x)}=A(\infty)$
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f(x)}{F(x)}\overset{\frac{0}{0}型}{====}\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f'(x)}{F'(x)}$
$\lim\frac{f(x)}{F(x)}\overset{\frac{\infty}{\infty}型}{====}\lim\frac{f'(x)}{F'(x)}$
设函数 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处 $n$ 阶可导，且 $f(x_{0})=f'(x_{0})=...=f^{(n)}(x_{0})=0$ ，则 $f(x)=0[(x-x_{0})^{n}](x\rightarrow x_{0})$
(1). $ \lim {\color{blue}f\color{blue}(\color{blue}x\color{blue})}\color{red}g\color{red}(\color{red}x\color{red}) $ $\infty\cdot 0$ 型 转化成 $\frac{0}{0}$ 型：$ \lim {\color{blue}f\color{blue}(\color{blue}x\color{blue})}\color{red}g\color{red}(\color{red}x\color{red}) =\lim\frac{\color{red}g\color{red}(\color{red}x\color{red})}{{1}/{{\color{blue}f\color{blue}(\color{blue}x\color{blue})}}}$
转化成 $\frac{\infty}{\infty}$ 型：$ \lim {\color{blue}f\color{blue}(\color{blue}x\color{blue})}\color{red}g\color{red}(\color{red}x\color{red}) =\lim\frac{\color{blue}f\color{blue}(\color{blue}x\color{blue})}{{1}/{{\color{red}g\color{red}(\color{red}x\color{red})}}}$
转化为基本型，再用洛必达法则
(2). $\lim[f(x)-g(x)]$ $\infty-\infty$ 型 通分 $\lim[f(x)-g(x)]=\lim\frac{F(x)}{G(x)}$ ，转化成 $\frac{0}{0}$ 型，再用洛必达法则
$\lim f(x)^{g(x)}$ $1^{\infty}$ $\infty^{0}$ $0^{0}$ 型
先转换 $\lim {\color{red}f\color{red}(\color{red}x\color{red})}^{\color{blue}g\color{blue}(\color{blue}x\color{blue})}=e^{\lim\color{blue}g\color{blue}(\color{blue}x\color{blue})\ln\color{red}f\color{red}(\color{red}x\color{red})}$ ，这时候 $\ln f(x)$ 和 $g(x)$ 一般会是 $0\cdot\infty$ 或 $\infty\cdot0$ 型
$\lim \color{red}u\color{red}(\color{red}x\color{red})^{\color{blue}v\color{blue}(\color{blue}x\color{blue})}\overset{\color{red}1^{\color{blue}\infty}}{====}e^{\lim \color{blue}v\color{blue}(\color{blue}x\color{blue})(\color{red}u\color{red}(\color{red}x\color{red})-1)}$
设函数 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处有 $0\sim n$ 阶导数，则
$\displaystyle f(x)=\sum^{n}{k=0}\frac{f^{(k)}(x {0})}{k!}(x-x_{0})^{k}+0[(x-x_{0})^{n}]$ 。
其中，
$\displaystyle\sum^{n}{k=0}\frac{f^{(k)}(x {0})}{k!}(x-x_{0})^{k}$ 叫做 $f(x)$ 的 ${\color{red}n}$ 次泰勒多项式，
$o[(x-x_{0})^n]$ 叫做佩亚诺余项，记作 $R_{n}(x)$ 。
设函数 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 的某个领域内有 $0\sim n+1$ 阶导数，则对该领域内的任何 $x$ ， 有
$\displaystyle f(x)=\sum^{n}{k=0}\frac{f^{(k)}(x {0})}{k!}(x-x_{0})^{k}+R_{n}(x)$
其中，前部分依然是 $f(x)$ 的 ${\color{red}n}$ 次泰勒多项式，
而 $\displaystyle R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}$ ，称为拉格朗日余项，其中 $x_{0}<\xi<x$ 。
当 $n=0$ 时，$f(x)=f(x_{0})+f'(\xi)(x-x_{0})$，
转换可得 $f(x)-f(x_{0})=f'(\xi)(x-x_{0})$
这正是拉格朗日中值定理。
所以，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广。
当 $x_{0}=0$ 时，得到带拉格朗日余项的麦克劳林公式：
$\displaystyle f(x)=\sum^{n}_{k=0}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k}+\frac{f^{(n+1)}(\color{red}\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1}$ (0<$\theta$<1)
或带佩亚诺余项：
$\displaystyle f(x)=\sum^{n}_{k=0}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k}+o(x^{n})$
$$
\begin{align}
\
sinx &这个函数只有奇次幂，没有偶次幂，2m-1 \leq n，其中佩亚诺余项既可以写成 o(x^{2m})/o(x^{2m-1})。\
\
sinx &=x-\frac{x^{3}}{3!}+ \frac{x^{5}}{5!} - ... + (-1)^{m-1}\frac{x^{2m-1}}{(2m-1)!} + o(x^{2m})\
\
\
cosx &这个函数只有偶次幂，没有奇次幂，2m \leq n，其中佩亚诺余项既可以写成 o(x^{2m + 1})/o(x^{2m})。\
\
cosx &=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-...+(-1)^{m}\frac{x^{2m}}{(2m)!}+o(x^{2m+1})\
\
\
e^{x} &=1 + x + \frac{x^{2}}{2} + ... +\frac{x^{n}}{n!} + o(x^{n})\
\
\
\ln(1+x) &= x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} -...+ (-1)^{n-1}\frac{x^{n}}{n} + o(x^{n})\
\
\
(1+x)^{\alpha} &= 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!}x^{2} + \frac{\alpha(\alpha - 1)(\alpha - 2)}{3!}x^{3}+...+\frac{\alpha(\alpha-1)...(\alpha-n+1)}{n!}x^{n} + o(x^{n})
\end{align}
$$
无穷小的化解：
$$
\begin{align}
o(x^{m}) \cdot x^{n} &= o(x^{mn})\
\alpha + o(\alpha) &\sim \alpha\
\
\
o(高阶) \pm o(低阶) &= o(低阶) \
例如：o(x^{5}) \pm o(x^{4}) &= o(x^{4})
\end{align}
$$
设 $I$ 是函数 $f(x)$ 的定义域内的一个区间。
函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调增加是指：
$\forall x_{1}, x_{2} \in I$ $x_{1} < x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) < f(x_{2})$
函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调减少是指：
$\forall x_{1}, x_{2} \in I$ $x_{1} < x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) > f(x_{2})$
在一个区间上单调增加或单调减少的函数称为单调函数。
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，在开区间 $(a,b)$ 内可导。
(1) 如果在 $(a,b)$ 内 $f'(x) > 0$ ，则函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调增加；
(2) 如果在 $(a,b)$ 内 $f'(x) < 0$ ，则函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上单调减少。
但是，不能说函数单调增加，导数一定大于零。
因为单调函数不一定可导。
即使函数可导，个别点的导数也可以是零。
(1) 利用函数的单调性证明不等式；
(2) 证明方程有唯一的实根，单调函数在单调区间最多有一个零点（单调函数的曲线穿过 x 轴最多一次）；
函数的极大值就是函数在一个领域内所取到的最大的函数值：局部最大值（local maximum value）。
函数的极小值就是函数在一个领域内所去到的最小的函数值：局部最小值（local minmum value）。
极值点：$x_{i}$ 极值：$f(x_{i})$
极值是局部概念，极大值不一定大于极小值，极值点必须是定义域的内殿。
定义域的端点一定不是极值点。
在可导的极值点处，曲线有水平的切线，从而导数为 0。
设函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导，且在点 $x_{0}$ 处取得极值，则必有 $f'(x_{0})=0$ 。（费马引理）
函数 $f(x)$ 导数 $f'(x_{0})=0$ 的点，称为驻点 $x_{0}$ ；
所以定理 1 也可以这样表述：
极值的必要条件：可导的极值点必为驻点。
注意：
(1) 极值点不一定是驻点，因为极值点处不一定有导数。
(2) 驻点也不一定是极值点。
如图
$x_{1}$ 是驻点但不是极值点 $x_{2}$ 是极值点但不是驻点
函数可能的极值点？
由极值的必要条件，
可能的极值点：(1) 驻点； (2) 不可导点。
一般地，这两类点被称为可疑点或临界点。
这种点通常只有有限个。
设函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处二阶可导，且 $f'(x_{0})=0, f''(x_{0}\neq 0)$
则
(1) $f''(x_{0})<0 \Rightarrow f(x_{0}) $ 为极大值。
(2) $ f''(x_{0}) > 0 \Rightarrow f(x_{0}) $ 为极小值。
设函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处 $n$ 阶可导，且
$f^{(k)}(x_{0})=0$ $(k=1,...,n-1)$ ， $f^{(n)}(x_{0})\neq 0$
则
(1) $n$ 为偶数时， $f(x_{0})$ 为极值。
$f^{(n)}(x_{0}) < 0 \Rightarrow f(x_{0})$ 为极大值
$f^{(n)}(x_{0}) > 0 \Rightarrow f(x_{0})$ 为极小值
(2) $n$ 为奇数时，$f(x_{0})$ 非极值。
函数 $f(x)$ 在集合 $I$ 上的最大（小）的函数值称为 $f(x)$ 在 $I$ 上的最大值（最小值）。
最大值和最小值简称最值。
最值是整体概念，而极值是局部概念。
最值可以再区间内部取到（也是极值）
也可以再区间端点取到（不是极值）
可能出现最值的点：(1) 开区间内的点； (2) 两个端点。
在闭区间 $[a,b]$ 上连续函数 $f(x)$ 一定能在该区间上取得最大的函数值和最小的函数值。
(1) 求出函数 $f(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 内的驻点和不可导点：$x_{1},...,x_{n}$。
(2) 比较函数值：
$f(x_{1})，... ， f(x_{n})，{\color{red}f}{\color{red}(}{\color{red}a}{\color{red})}, {\color{red}f}{\color{red}(}{\color{red}b}{\color{red})}$
其中的最大者为函数的最大值，最小者为最小值。
注意：不必判定 $f(x_{1})，... ， f(x_{n})$ 是否为极值。
* 扩展命题：如果 $f(x_{0})=0$ ，且 $f'(x_{0}) \neq 0$ ，则 $|f(x)|$ 在 $x_{0}$ 处不可导。
2.3.2 $f(x)=|x-x_{0}|g(x)$ 的可导性 $f(x)=|x-x_{0}|g(x)$ 在 $x_{0}$ 处可导当且仅当 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}} g(x) = 0$ ；
如果 $g(x)$ 在 $x_{0}$ 处连续，则 $f(x) = |x-x_{0}|g(x)$ 在 $x_{0}$ 处可导当且仅当 $g(x_{0})=0$ 。
没有边界点，最值一定在 $(a,b)$ 内的极值点处产生。
函数在以区间内不一定有极值，但如果函数在以区间内有唯一的极值，则该极值也是函数在该区间的最值。
凹弧的更一般的定义：$\forall t,,,(0<t<1)$
$$
\color{Red} f[(1-t)x_{1} + tx_{2}] < (1-t)\color{Blue}f(x_{1}) + t\color{Blue}f(x_{2})
$$
凹弧的更一般的定义：$\forall t,,,(0<t<1)$
$$
\color{Red} f[(1-t)x_{1} + tx_{2}] > (1-t)\color{Blue}f(x_{1}) + t\color{Blue}f(x_{2})
$$
1.3.1 利用一阶导数的单调性判断凹凸性（引理 ） 设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，那么
(1) 若在 $(a,b)$ 内 $f'(x)$ 单调增加，
则曲线 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上是凹的。
(2) 若在 $(a,b)$ 内 $f'(x)$ 单调减少，
则曲线 $y = f(x)$ 在 $[a,b]$ 上是凸的。
因为
$f''(x) > 0 \Rightarrow f'(x)$ 单增
$f''(x) < 0 \Rightarrow f'(x)$ 单减
由以上引理得到以下定理：
设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内二阶可导，那么
(1) 若在 $(a,b)$ 内 $\color{blue}f\color{blue}'\color{blue}'\color{blue}(\color{blue}x\color{blue}) \color{blue}> \color{blue}0$ ，
则曲线 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上是凹的。
(2) 若在 $(a,b)$ 内 $\color{blue}f\color{blue}'\color{blue}'\color{blue}(\color{blue}x\color{blue}) \color{blue}< \color{blue}0$ ，
则曲线 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上是凸的。
可能出现拐点的点 $x_{0}$ ：(1) $f''(x_{0}) = 0$ ；(2) $f''(x_{0})$ 不存在。
$f''(x_{0})$ 不存在的点：
拐点的三阶充分条件：
(1) 求出函数 $f(x)$ 在区间内二阶导数等于零的点和二阶导数不存在的点： $x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}$
这些点将函数的定义域分成若干个小区间
(2) 讨论二阶导数在这些小区间内的符号，以确定曲线的凹凸性。
(3) 考察二阶导数在以上点两侧的符号，以确定改点持否出现拐点。
三次曲线恰有一个拐点，且三次曲线关于拐点对称
当曲线 $y=f(x)$ 上的一动点 $P$ 沿着曲线移向无穷点时，如果点 $P$ 到某定直线 ${\color{blue}L}$ 的距离趋向于 0，那么直线 $\color{blue}L$ 就称为曲线 $y=f(c)$ d的一条渐近线。
如果 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}}= \infty$ （或 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}= \infty，\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}= \infty$ ），那么 $x = x_{0}$ 就是 $y = f(x)$ 的一条铅直渐近线。
如果 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow \infty} f(x) =A$ 或 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow\pm \infty}f(x) = A$ （$A$ 为常数）
那么 $y=A$ 就是 $y=f(x)$ 的一条水平渐近线。
例如 $y=arctanx$ 有两条水平渐近线：
$y=\frac{\pi}{2}，y=-\frac{\pi}{2}$
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty} arctanx=-\frac{\pi}{2}$ $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty} arctanx=\frac{\pi}{2}$
如果有斜渐近线，当 $x\rightarrow \infty$ 时，$y \rightarrow \infty$
注：当分子比分母高一次幂时，一定有斜渐近线。
如果 $k = 0$
或 $k$ 不存在
或 $k$ 存在，但 $b$ 不存在，
则曲线 $y=f(x)$ 没有斜渐近线。
描绘函数是图形的步骤:
利用图形软件来绘制图形，例如 Maple
当编书无线增加时，圆的周长可以看成圆内接正多边形的周长的极限，现在，我们用类似的方法来定义一般曲线的弧长。
弧微分是用一条线段的长度来近似代表一段弧的长度。
曲线 $\widehat{AB}$ 的弧长 ：
$\displaystyle s = \lim_{d\rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n} \overline{M_{i-1}M_{i}}$
$d=max{\overline{M_{0}M_{1}},\overline{M{1}M_{2}},...,\overline{M_{n-1}M_{n}} }$
弧微分：
如果 $ y=f(x) $ ，则 $ds = \sqrt{(dx)^{2} + (dy)^{2}} = \sqrt{1+y'^{2}}dx $ ；
如果参数方程表示的曲线 $\left{\begin{matrix} x=\varphi(t)\ y=\psi(t)\ \end{matrix} \right.$，
则 $\left{\begin{matrix} dx=\varphi'(t)dt \ dy=\psi'(t)dt \ \end{matrix}\right.$ ，可得 $ds = \sqrt{\varphi'^{2}(t)+\psi'^{2}(t)} dt$
曲率是描述曲线弯曲程度的量。
如何刻画曲线在一点处的弯曲程度？
如果 $y=f(x)$ ，则 $\displaystyle K = \frac{|y''|}{(1+y'^{2})^{\frac{3}{2}}}$ ；
如果参数方程表示的曲线 $\left{\begin{matrix} x=\varphi(t)\ y=\psi(t)\ \end{matrix} \right.$ ，
则 $\displaystyle y' = \frac{\psi '(t)}{\varphi'(t)} = \frac{y'(t)}{x'(t)}$ ，$ \displaystyle y'' = \frac{\psi''(t)\varphi'(t)-\psi'(t)\varphi''(t)}{\varphi'^{3}(t)} = \frac{y''(t)x'(t)-y'(t)x''(t)}{x'^{3}(t)}$ ，
可得 $\displaystyle K = \frac{|\varphi'(t)\psi''(t) - \varphi''(t)\psi'(t)|}{[\varphi'^{2}(t) + \psi'^{2}(t)]^{\frac{3}{2}}} = \frac{|x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)|}{[x'^{2}(t) + y'^{2}(t)]^{\frac{3}{2}}}$ 。
1.直线的曲率处处为 0。
2.$y''=0 \Rightarrow K(x,y) = 0$ ，拐点处曲率为 ：拐点处曲线不弯曲。
3.圆 $\left{\begin{matrix} x=Rcost\ y=Rsint\ \end{matrix}\right.$ ，可得 $ \displaystyle K = \frac{1}{R}$ ，
故 (1) 半径为 $R$ 的圆上各点处的曲率相同，均为 $\frac{1}{R}$ ；
(2) 圆的曲率与半径成反比：半径越大，曲率越小。
4.抛物线 $y=ax^{2} + bx + c$ 上，当 $\displaystyle x = -\frac{b}{2a}$ 时， $K = |2a|$ 最大，$\displaystyle (-\frac{b}{2a}, -\frac{b^{2}-4ac}{4a})$ 为抛物线定点
$\because$ 半径 $R$ 的圆上各点处曲率 $\displaystyle K=\frac{1}{R}$
圆的半径是曲率的倒数：$\displaystyle R=\frac{1}{K}$
设函数 $y=f(x)$ 在点 $M(x,y)$ 处的曲率为 $K(K\neq 0)$ 。
在点 $M$ 处的曲线的发现上，在凹的一侧取一点 $D$ ，使 $\displaystyle|DM| = \frac{1}{K} = \rho$ 。
以 $D$ 为圆心 ， $\rho$ 为半径做圆（如图），称此圆为曲线在点 $M$ 处的曲率圆，$D$ 称为曲率中心， $\rho$ 称为曲率半径。
曲线在一点处的曲率圆在该点不但与曲线相切，而且与曲线有相同的 2 阶导数。在机械和工程中，常穿用曲率圆来局部近似代替曲线。
曲线 $C$ 的曲率中心的轨迹 $G$ 称为曲线 $C$ 的渐屈线。
反之，$C$ 本身称为 $G$ 的渐伸线。
抛物线的渐屈线，称为半立方抛物线。
摆线的渐屈线，仍是摆线。
椭圆的渐屈线，为星形线。
