极限是微积分中的一个基本运算和方法。微积分中的很多重要概念都要用到极限来定义。很多重要的计算方法都要设计极限运算。
不管函数在一个点是否有定义，我们都可以讨论函数在该点的极限。
1.1 $x \rightarrow x_{0}$
极限 $\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_{0}} f(x) = A$ 直观的定义：
设函数 $f(x)$ 在 $x = x_{0}$ 的某个去心邻域内有定义。
若 $x \rightarrow x_{0}$ 时，有 $f(x) \rightarrow A$
则称函数 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处有极限 A。
但是，极限的这种定义是不严格的。
如何严格定义极限 $\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x) = A$ ?
需要两个正数：$\varepsilon$ 和 $\delta$
$\varepsilon$ 用来表示函数值 $f(x)$ 与数 $A$ 可以无限接近： $|f(x) - A| < \varepsilon$ 。
$\delta$ 用来表示当自变量 $x$ 与 $x_{0}$ 充分接近时，$|x - x_{0}| < \delta$ ，就能保证 $f(x)$ 与 $A$ 的差距小于事先给定的 $\varepsilon$ 。
(2) $\varepsilon -\delta$ 定义 是极限 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x) = A$ 的严格定义
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x) = A$ 是指：
$\forall \varepsilon > 0,,,,,,, \exist \delta > 0$ 使得当
$0 < |x - x_{0}| < \delta$ 时，就有
$|f(x) - A| < \varepsilon$ 成立。
$\varepsilon$ 用来表示函数值 $f(x)$ 与数 $A$ 可以任意（无限）接近： $|f(x) - A| < \varepsilon$ 。
$\delta$ 用来表示当自变量 $x$ 与 $x_{0}$ 充分接近时， $(|x - x_{0}| < \delta)$ ，就能保证 $f(x)$ 与 $ A $ 的差距小于事先给定的 $ \varepsilon$ 。
$x_{0}$ 处的极限是否存在以及极限值与函数 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处的函数值 $f(x_{0})$ 无关，因为定义中没有涉及到 $f(x_{0})$ 。
即 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_{0}}{f(x)} = A$ 与函数值 $f(x_{0})$ 无关。
当函数 $f(x) $ 在 $x_{0}$ 处有定义的时候，可直接代入 $x_{0}$ ，$A = f(x_{0})$ 。
当函数 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处没有定义的时候，可对 $f(x)$ 进行因式分解，得到一个可代入 $x_{0}$ 的新方程 $f'(x)$ ，再代入 $x_{0}$ ， $A = f'(x_{0})$ 。
不管函数在一个点是否有定义，我们都可以讨论函数在改点的极限。
(1) 在极限的 $\varepsilon - \delta$ 定义中，是先有 $\varepsilon$ ，还是先有 $\delta$ ？为什么？
先有 $\varepsilon$ ，因为 $\varepsilon$ 使用来刻画函数与$ A$ 任意接近的，所以要先给定 $\varepsilon$ ，才能确定 $\delta$ 。
(2) 由 $\varepsilon$ 所确定的 $\delta$ 是否唯一 ？
不唯一。
若极限的 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x)$ 存在，则函数 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 的某个去心邻域内有界。
证明：
若 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x) = A$
对于 $\varepsilon = 1$ ，$\exist \delta > 0$
$\forall x \in (x_{0} - \delta, x_{0}) \cup (x_{0}, x_{0}+ \delta)$
$\Rightarrow A-1 < f(x) < A + 1$
左极限 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}f(x) = A$
$\forall \varepsilon > 0,,,,,,, \exist \delta > 0$
$\forall x \in (x_{0} - \delta, x_{0})$
$\Rightarrow |f(x) - A| < \varepsilon$ 。
右极限$\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}f(x) = A$
$\forall \varepsilon > 0,,,,,,, \exist \delta > 0$
$\forall x \in (x_{0}, x_{0} + \delta)$
$\Rightarrow |f(x) - A| < \varepsilon$ 。
双侧极限存在的充分必要条件是，单侧极限一定都存在且相等。
反之，如果左右极限不相等，那么双侧极限不存在。这种情况常出现在分段函数的分界点出，故单侧极限常用来讨论分段函数在分界点的极限。
单侧极限也常用来讨论函数在其定义区间端点的极限。
1.2 $x \rightarrow \infty$
自变量取余无穷大时函数的极限
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = A$
$x \rightarrow \infty$ 是指：$|x| \rightarrow +\infty$ ，即 $x$ 无限的远离原点，但 $x$ 可正可负。
极限 $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} f(x) = A$ 直观的定义：
设函数 $f(x)$ 在某个集合 ${ x| |x|> M }(M > 0)$ 上有定义。
若 $x \rightarrow \infty$ 时，有 $f(x) \rightarrow A$
则称函数 $f(x)$ 在 $x \rightarrow \infty$ 时有极限 A。
(2) $\varepsilon -\delta$ 定义 $\forall \varepsilon>0，\\exist X>0，\使当,|x|>X,时，\即有,|f(x)-A|<\varepsilon.$
若极限的 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} f(x)$ 存在，则函数 $f(x)$ 在某个集合 ${x| |x| > X}$ 上有界。
证明：
若 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = A$
对于 $\varepsilon = 1$ ，$\exist \delta > 0$
$\forall x \in (-\infty, -X) \cup (X, +\infty)$
$\Rightarrow A-1 < f(x) < A + 1$
左极限 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}f(x) = A$
$\forall \varepsilon > 0,,,,,,, \exist X> 0$
$\forall x \in (-\infty, -X)$
$\Rightarrow |f(x) - A| < \varepsilon$ 。
右极限$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = A$
$\forall \varepsilon > 0,,,,,,, \exist X> 0$
$\forall x \in (X, +\infty)$
$\Rightarrow |f(x) - A| < \varepsilon$ 。
双侧极限存在的充分必要条件是，单侧极限一定都存在且相等。
2. $\varepsilon -\delta$ 总结
$ f(x)\rightarrow A $
$f(x)\rightarrow \infty$ $f(x)\rightarrow +\infty$ $f(x)\rightarrow -\infty$
$x \rightarrow x_{0}$ $\forall\varepsilon>0，\\exist\delta>0，\使当,0<
x-x_{0}
<\delta,时，\即有,
f(x)-A
$x \rightarrow x_{0}^{+}$ $\forall\varepsilon>0，\\exist\delta>0，\使当,x_{0}<x<x_{0}+\delta,时，\即有,
f(x)-A
<\varepsilon.$
$\forall M>0，\\exist\delta >0，\使当,x_{0}<x<x_{0}+\delta,时，\即有,
$x \rightarrow x_{0}^{-}$ $\forall\varepsilon>0，\\exist\delta >0，\使当,x_{0}-\delta<x<x_{0},时，\即有,
f(x)-A
<\varepsilon.$
$\forall M>0，\\exist\delta >0，\使当, x_{0}-\delta<x<x_{0},时，\即有,
$x \rightarrow \infty$ $\forall \varepsilon>0，\\exist X>0，\使当,
x
>X,时，\即有,
f(x)-A
$x \rightarrow +\infty$ $\forall\varepsilon>0，\\exist X>0，\使当,x>X,时，\即有,
f(x)-A
<\varepsilon.$
$\forall M>0，\\exist X>0，\使当,x>X,时，\即有
$x \rightarrow -\infty$ $\forall\varepsilon>0，\\exist X>0，\使当,x<-X,时，\即有,
f(x)-A
<\varepsilon.$
$\forall M>0，\\exist X>0，\使,当x<-X,时，\即有,
2.1 证明 $x \rightarrow x_{0}$ 的极限 (1) 设法通过给 $f(x)$ 变形得到包含 $|x-x_{0}|$ 的式子，然后令 $f(x) < \varepsilon$ ，将 $|x-x_{0}|$ 的其他参数转移到 $\varepsilon$ 方得到 $\varphi(\varepsilon)$ ，即可得到 $\delta = \varphi(\varepsilon)$ 。
(2) 适当放大法，在比较过程中，不好消除元素时，可分析 x 趋于的数，对不好消除的式子进行适当放大，来得出结果。注意在判断 $\delta$ 时，需要把适当放大时候的不等式也加入一起判断，取较小者为 $\delta$ 。
2.2 证明 $x \rightarrow \infty$ 的极限 (1)对于任意给定的 $\varepsilon > 0$ ，从 $|f(x) - A| < \varepsilon$ ，分析出 $|x|>\varphi(\varepsilon)$ ，令 $X = \varphi(\varepsilon)$ ，则当 $|x| > X$ 时，就有 $|f(x) - A| < \varepsilon$ 。
如果极限 $\lim f(x)$ 存在，则极限值是惟一的。
使用反证法证明，以 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x) = A$ 为例，其它情况同理
证：若存在 $B \neq A$ ，使得 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x) = B$ ，不妨假设 $B > A$
取 $\displaystyle \varepsilon = \frac{B - A}{2}$ ，
由于 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x) = A$ ，所以 $\exist \delta_{1} > 0$ 使得 $|f(x) - A| < \varepsilon$
由于 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x) = B$ ，所以 $\exist \delta_{2} > 0$ 使得 $|f(x) - B| < \varepsilon$
令 $\delta = min{\delta_{1}, \delta_{2}}$
当 $|x - x_{0}| < \delta$ 时，就要同时满足 $\displaystyle f(x) < A + \varepsilon = \frac{A+B}{2}$ 和 $\displaystyle f(x) > B - \varepsilon = \frac{A+B}{2}$
是矛盾，
所以极限只能唯一
若极限的 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x)$ 存在，则函数 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 的某个去心邻域内有界。
若极限的 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} f(x)$ 存在，则函数 $f(x)$ 在某个集合 ${x| |x| > X}$ 上有界。
若极限的 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x) > 0$ ，则函数 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 的某个去心邻域内是正的。
若极限的 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x) < 0$ ，则函数 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 的某个去心邻域内是负的。
若极限的 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x) = A > 0$ ，则函数 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 的某个去心邻域内 $\displaystyle f(x) > \frac{A}{2}$ 。
若 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x) > \lim_{x \rightarrow x_{0}} g(x)$ ，则在 $x_{0}$ 的某个去心邻域内 $f(x) > g(x)$ 。
若在 $x_{0}$ 的某个去心邻域内 $f(x)\geq 0$ ，则极限 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x) \geq 0$ 。
若在 $x_{0}$ 的某个去心邻域内 $f(x)\leq 0$ ，则极限 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x) \leq 0$ 。
数列：按某种顺序排列出来的无穷多个数，数列可简记为 ${x_{n}}$ 。
例如：自然数列 ${n}$ ，调和数列 $\displaystyle{\frac{1}{n}}$
数列 ${x_{n}}$ 可以看成自然数集 $N$ 到实数集 $R$ 的映射，$x_{n} = f(n) (n=1,2,3,...)$ 整标函数。
递增数列：$x_{n-1} < x_{n}$
递减数列：$x_{n-1}>x_{n}$
也有无单调性的数列，例如常数列
如果 $\exist M > 0，\forall n \in N$ ，使得 $|x_{n}| \leq M$ ，则称数列 ${X_{n}}$ 有界。
如果 $\forall M > 0，\exist n \in N$ ，都有 $|x_{n}| > M$ ，则称数列 ${X_{n}}$ 无界。
因为 $x_{n}=f(n)$ 是定义在自然数集 N 上的函数，所以 $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}x_{n} = \lim_{n\rightarrow \infty}f(n) = A$ 可视为特殊的函数极限。
$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}{x_{n}} = A$ 是指：$\forall \varepsilon > 0，\exist N（自然数）$，使得当 $n > N$ 时，就有 $|x_{n} - A| < \varepsilon$
数列 ${x_{n}}$ 的项最终将进入 A 的任何实现给定的 $\varepsilon$ 领域，在这个领域以外最多只有有限项。
如果极限 $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}{x_{n}} = A$ 存在，则称为收敛数列，
如果极限 $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}{x_{n}} = A$ 不存在，则称为发散数列。
收敛数列必有界（收敛数列的有界性），
无界数列必发散。
有界数列不一定收敛，但单调有界数列一定收敛
从 $|x_{n} - A| < \varepsilon$ ，分析出 $n > \varphi(\varepsilon)$ ，令 $N=[\varphi(\varepsilon)]$ （这里的 [] 是取整符号） ，则当 $n > N$ 时，
就有 $|x_{n} - A| < \varepsilon$ ，则 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n} = A$
注意事项：
1.需要注意 $N=[\varphi(\varepsilon)]$ 是一个正数，所以要检查一下 N > 0 是否成立，
如果 $[\varphi(\varepsilon)]$ 可能为负，则需要限制 $[\varphi(\varepsilon)] > 0$ 求出 $\varepsilon$ 的范围；或者也可以取 $N = max{[\varphi(\varepsilon)], 1}$
令 $|x_{n} - A| < f(n) < \varepsilon$ ，将绝对值式子适当放大成一个好计算的式子 $f(n)$ ，再求解 n 和 $\varepsilon$ 的关系。
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=A,$ 的充分比较条件是 $\displaystyle\forall{x_{n}}:\lim_{n\rightarrow\infty}f(x_{n})=A$
设 $\displaystyle\lim f(x)=A,,,,,\lim g(x)=B$
则我们有以下运算法则：
$$
\begin{align}
\lim [f(x)\pm g(x)] &=\lim f(x) \pm \lim g(x) = A + B \
\lim[f(x)\cdot g(x)]&=\lim f(x)\cdot\lim g(x)\
\lim\frac{f(x)}{g(x)}&=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}=\frac{A}{B},(B\neq 0)
\end{align}
$$
推论：
$$
\begin{align}
\lim(u_{1}+u_{2}+…+u_{n}) &=\lim u_{1}+\lim u_{2}+…+\lim u_{n}\
\lim(u_{1}u_{2}…u_{n}) &=\lim u_{1}\cdot\lim u_{2}…\lim u_{n}\
\lim[f(x)]^{n}&=[\lim f(x)]^{n}\
\textbf{极限的线性性质（c 是常数）：}&\
\lim(c_{1}u_{1}+c_{2}u_{}+...+c_{n}u_{n}) &=c_{1}\lim u_{1}+c_{2}\lim u_{2}+...+c_{n}\lim u_{n},,
\end{align}
$$
数列的极限也有类似的性质。
例 1. 求 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow2}\frac{x^{2}-x}{x_{2}-4}$ 的极限
解法：交换分子分母 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow2}\frac{x^{2}-4}{x^{2}-x}=\frac{0}{2}=0$ ，得无穷小，再利用无穷小的倒数为无穷大得$\displaystyle\lim_{x\rightarrow2}\frac{x^{2}-x}{x^{2}-4}=\infty$
如果 $\lim f(x)=A\neq 0 \lim g(x)=0$ **，则 **$\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\infty$ 无穷大。
**例2. **设 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}\frac{3x^{2}+xb+c}{x^{2}-1}=2$ ，求 b、c 的值。
解法：$\because\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}(x^{2}-1)=0$ 分母趋于 0，且极限 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}\frac{3x^{2}+xb+c}{x^{2}-1}$ 存在，所以必有 $\displaystyle\lim(3x^{2}+bx+c)=0$ ，带入 x = 1 可得 $3+b+c=0 \Rightarrow c=-3-b$
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}\frac{3x^{2}+bx+c}{x^{2}-1}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{3x^{2}+bx-3-b}{x^{2}-1}\=\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}\frac{3(x^{2}-1)+b(x-1)}{x^{2}-1}=3+\lim_{x\rightarrow1}\frac{b}{x+1}\=3+\frac{b}{2}=2\Rightarrow b=-2$
**如果 ** $\displaystyle\lim\frac{f(x)}{g(x)}$ 存在，且 $\lim g(x) = 0$ ，则必有 $\lim f(x)=0$ 。
3. $\frac{\infty}{\infty}$ 型 $$
\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{a_{0}x^{m}+a_{1}x^{m-1}+...+a_{m-1}x+a_{m}}{b_{0}x^{n}+b_{1}x^{n-1}+...+b_{n-1}x+b_n{}}\\
=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{a_{0}x^{m}}{b_{0}x^{n}}=\frac{a_{0}}{b_{0}}\lim_{x\rightarrow\infty}x^{m-n}=
\left{\begin{matrix}
\frac{a_{0}}{b_{0}},,&，if ,,m=n\\
0,,&，if ,,m<n\\
\infty,,&，if ,,m>n\\
\end{matrix}\right.
$$
设有三个数列：${x_{n}},,{y_{n}},,{z_{n}}$
若它们满足条件：
$$
\begin{align}
(1),,& y_{n}\leq x_{n}\leq z_{n},,,(n=1,2,3,...)\
(2),,& \displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}y_{n}=A，,,\lim_{n\rightarrow\infty}z_{n}=A
\end{align}
$$
则 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=A$
设再 $x_{0}$ 的某个去心领域有：
$$
\begin{align}
(1),,& g(x)\leq f(x)\leq h(x),,,(n=1,2,3,...)\
(2),,& \displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}g(x)=A，,,\lim_{n\rightarrow\infty}h(x)=A
\end{align}
$$
则 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}f(x)=A$
数列：
有界的单调数列一定收敛
函数：
设函数 $f(x)$ 在某个区间 $(x_{0}-\delta, x_{0})$ 上单调增加（单调减少），且有上界（下界），则 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 的左极限存在：
$$
f(x_{0}^{-})=\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)
$$
设函数 $f(x)$ 在某个区间 $(x_{0}, x_{0}+\delta)$ 上单调增加（单调减少），且有下界（上界），则 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 的右极限存在：
$$
f(x_{0}^{+})=\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)
$$
对 $x_{0}=\pm\infty$ 也成立，
设函数 $f(x)$ 在区间 $(a,+\infty)$ 上单调增加且有上界 M，则极限 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)$ 存在；若函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty, a)$ 上单调减少且有下界 -M，则极限 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)$ 存在。
$$
\displaystyle\begin{align}
&\lim_{x\rightarrow0}\frac{sinx}{x} = 1 ,,(重要极限一，三角函数)\\
&可得,\\
&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{tanx}{x}=1\\
&\lim_{x\rightarrow0}\frac{arcsinx}{x}=1\\
&\lim_{x\rightarrow0}\frac{arctanx}{x}=1\\
&\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{sinx}{x} = 0 ,,(注意，这个不是重要极限)\\
\\
\\
&\lim_{x\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{x})^{x}=e,(x>0||x<-1),,(重要极限二，幂指函数)\\
&可得,\\
&\lim_{x\rightarrow\infty}(1+\frac{k}{x})^{x}=e^{k},(k\neq 0)\\
&\lim_{x\rightarrow\infty}(1+\frac{k}{x})^{lx}=e^{kl}\\
&\lim_{x\rightarrow\infty}(1+\frac{k}{x})^{l+x}=e^{k}\\
&\lim_{x\rightarrow\infty}(\frac{x+a}{x+b})^{x}=e^{a-b}\\
\\
\\
&\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n}=1\\
&\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a}=1,,（a>0）\\
&\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{a^{n}}=0,,（a>1）\\
\\
\end{align}
$$
幂指函数的极限：
若 $\lim u(x) = a>0，,,,\lim v(x) = b$ ，则 $ \lim u(x)^{v(x)} = a^{b}$，
若 $\lim u(x)=1，,,,\lim v(x)= \infty$ ，则 $\lim u(x)^{v(x)} \overset{1^{\infty}}{====}e^{\lim v(x)(u(x)-1)}$
设 $\lim\alpha=0$ $\lim\beta=0$
（1）$\lim\frac{\beta}{\alpha}=0 \Rightarrow \beta$ 是比 $\alpha$ 高阶的无穷小 ，记 $\beta=o(\alpha)$ 。
（2）$\lim\frac{\beta}{\alpha}=c,(c\neq0) \Rightarrow \beta$ 与 $\alpha$ 是 同阶的无穷小 ，记 $\beta=O(\alpha)$ 。
（3）$\lim\frac{\beta}{\alpha}=1\Rightarrow \beta$ 与 $\alpha$ 是 等价的无穷小 ，记 $\beta \sim \alpha$ 。
（4）$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\frac{\alpha}{x^{k}}=c\neq0,(k>0)\Rightarrow\alpha$ 是 x 的 k 阶无穷小。
1.低阶无穷小+高阶无穷小=低阶无穷小
即 $\alpha + o(\alpha) = \alpha$
2.等价无穷小的差是比它们更高阶的无穷小
即 $\beta=O(\alpha)$ ，$\alpha-\beta=o(\alpha)$
$$
\displaystyle\begin{align}
(1+x)^{\mu}-1 &\sim\mu x \\
\
\
x-sinx \sim \frac{x^{3}}{6}，,, & ,, arcsinx-x\sim\frac{x^{3}}{6}\\
tanx-x \sim \frac{x^{3}}{3}，,, & ,,x-arctanx\sim\frac{x^{3}}{3}\\
tanx-sinx \sim \frac{x^{3}}{2}，,, & ,, x-\ln(1+x)\sim\frac{x^{2}}{2}\\
e^{\alpha}-e^{\beta}&\sim e^{\alpha-\beta}\
\end{align}
$$
设 $\lim\alpha=0$ $\lim\beta=0$ $\alpha\sim\beta$
则 $\lim f(x)\alpha=\lim f(x)\beta$
注意：只有乘积因子才能等价替换，加减项之间一般不能进行等价替换
函数的连续性：
当 $\Delta x\rightarrow 0$ 时，$\Delta y\rightarrow 0$
函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处连续 $\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{\Delta x\rightarrow0}\Delta y=0$ （增量极限形式）
$\displaystyle\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow0}[f(x)-f(x_{0})]=0$
$\displaystyle\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow0}f(x)=f(x_{0})$ （函数极限形式）
函数的连续性的 $\varepsilon -\delta$ 定义：
$$
\begin{align}
&\forall\varepsilon >0,\exist\delta>0\
&\forall x:|x-x_{0}|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon
\end{align}
$$
若函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处连续，则称 $x_{0}$ 为函数的连续点。
连续点 $\displaystyle x_{0}：\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})$
若函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处不连续，则称 $x_{0}$ 为函数的间断点。
间断点 $\displaystyle x_{0}：\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)\neq f(x_{0})$
单侧连续：
左连续: $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)=f(x_{0})=f(x_{0}^{-})$
右连续: $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)=f(x_{0})=f(x_{0}^{+})$
无穷间断点（Infinity discontinunity）：函数在 $x_{0}$ 处无定义，且极限为 $\infty$ 。
例如：$f(x)=tanx$ ，在 $x_{0}=\frac{\pi}{2}$ 处无定义，
但 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}}tanx=\infty$ 。
振荡间断点（Oscillating discontinunity）: 函数在 $x_{0}$ 处无定义，且在靠近 $x_{0}$ 时不断振荡。
例如：$f(x)=sin\frac{1}{x}$ ，在 $x_{x}=0$ 处无定义，
且 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}} sin\frac{1}{x}$ 不存在，
但在趋于 $x=x_{0}$ 时，不断振荡。
可去间断点（Removable discontinity）：函数在 $x_{0}$ 处无定义但有极限（左右极限存且相等），称为可去间断点。
例如： $f(x)=\frac{x^{2}-1}{x-1}$ ，在 $x_{0}=1$ 处无定义，
但 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^{2}-1}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1}(x+1) = 2$ 。
跳跃间断点（Jump discontinunity）: 函数在 $x_{0}$ 处左右极限存在，但不相等。
例如：$f(x)=
\left{\begin{matrix}
&x-1，x<0\
&0，x=0\
&x+1，x>0\
\end{matrix}\right.$ 在 $x=0$ 处左右极限不相等。
第一类间断点：左右极限都存在的间断点 → 可去间断点、跳跃间断点。
第二类间断点：左右极限至少有一个不存在的间断点 → 无穷间断点、振荡间断点、其他点断点（如 Dirichlet 函数的间断点）
定理 设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在点 $x_{0}$ 处连续，则
$$
\begin{align}
f(x)\pm g(x),,,,,,,,,f(x)g(x),,,,,,,,,&\frac{f(x)}{g(x)} \
&(g(x_{0}\neq0))
\end{align}
$$
也在 $x_{0}$ 处连续。
定理 设 $y=f(x)$ 在区间 $I=(a,b)$ 上单调且连续，则其反函数 $x=f^{-1}(y)$ 在区间 $J=f(I)$ 上单调且连续。
设 $y=f[g(x)]$ 是由函数 $y=f(u)$ 与 $u=g(x)$ 复合而成的复合函数。
若 $\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)=u_{0}({\color{blue}{g(x)\neq u_{0}}}),,,,\lim_{u\rightarrow u_{0}}f(u)=A$
则 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}}f[g(x)]=A=\lim_{u\rightarrow u_{0}}f(u)$
稍加修改，得极限的另一个定理：
若 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)=u_{0},,,,,,,\lim_{u\rightarrow u_{0}}f(u)=f(u_{0})$
则 $\lim_{x\rightarrow x_{0}}f[g(x)] = f(u_{0}),,,,,{\color{#4841c0}{f(u)在u_{0}处连续}}$
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_{0}}f[g(x)]=f[\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)]$
极限可以穿过连续函数取到内函数上面
设函数 $u=g(x)$ 在点 $x_{0}$ 处连续，
$y=f(u)$ 在点 $u_{0}=g(x_{0})$ 处连续，
则复核函数 $y=f[g(x)]$ 在点 $x_{0}$ 处连续。
推论：连续函数的复核函数任为连续函数。
指数函数连续 $\Leftrightarrow$ 对数函数连续（互为反函数）
幂函数连续
三角函数连续 $\Leftrightarrow$ 反三角函数连续（互为韩寒苏）
多项式函数、有理分式函数连续
即：一切初等函数在其定义区间内都是连续的。
定义区间：定义域内的区间。
注：有的初等函数的定义域不能构成区间，连续性无从谈起。
如：$y=\sqrt{sinx-1} $ 的定义域都是孤立的点，不能构成区间。
函数 $f(x)$ 在闭区间 [a,b] 上连续是只 $f(x)$ 在该区间内的每一个点都连续，并且在两个端点单侧连续。
在闭区间 [a, b] 上的连续函数 $f(x)$ 在该区间上是有界的。
注意：在开区间上连续的函数不一定能够取到最大(最小)的函数值，也不一定有界。
设函数 $f(x)$ 在闭区间 [a, b] 上连续，且 $f(a)$ 与 $f(b)$ 异号，则在区间 (a, b) 内至少存在一点 $\xi$ ，使得 $f(\xi) = 0$ 。
这个点称为函数 $f(x)$ 的零点，或方程 $f(x)=0$ 的根。
注意：在闭区间上不连续的函数不一定有零点。
设函数 $f(x)$ 在闭区间 [a, b] 上连续，且 M 和 m 分别是函数在 [a, b] 上的最大值和最小值，则对于任何介于 M 和 m 值的数 C，在区间（a, b上至少存在一个点 $\xi$ ，使得 $f(\xi)=C$ 。
