diff --git a/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/header.tex b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/header.tex new file mode 100644 index 00000000..b423cfc6 --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/header.tex @@ -0,0 +1,191 @@ +%\documentclass[a4paper,12pt, draft]{article} +\documentclass[12pt,a4paper]{article} + +%%% Работа с русским языком +\usepackage{cmap} % поиск в PDF +\usepackage{mathtext} % русские буквы в формулах +\usepackage[T2A]{fontenc} % кодировка +\usepackage[utf8]{inputenc} % кодировка исходного текста +\usepackage[english,russian]{babel} % локализация и переносы +\usepackage{indentfirst} % красная строка в первом абзаце +\frenchspacing % равные пробелы между словами и предложениями + +%%% Дополнительная работа с математикой +\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm,mathtools} % пакеты AMS +\usepackage{icomma} % "Умная" запятая + +%%% Свои символы и команды +\usepackage{centernot} % центрированное зачеркивание символа +\usepackage{stmaryrd} % некоторые спецсимволы +\usepackage{dsfont} +\usepackage{amsthm} + +\renewcommand{\epsilon}{\ensuremath{\varepsilon}} +\renewcommand{\phi}{\ensuremath{\varphi}} +\renewcommand{\kappa}{\ensuremath{\varkappa}} +\renewcommand{\le}{\ensuremath{\leqslant}} +\renewcommand{\leq}{\ensuremath{\leqslant}} +\renewcommand{\ge}{\ensuremath{\geqslant}} +\renewcommand{\geq}{\ensuremath{\geqslant}} +\renewcommand{\emptyset}{\ensuremath{\varnothing}} + +\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn} +\DeclareMathOperator{\ke}{Ker} +\DeclareMathOperator{\im}{Im} +\DeclareMathOperator{\re}{Re} + +\newcommand{\N}{\mathbb{N}} +\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} +\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} +\newcommand{\R}{\mathbb{R}} +\newcommand{\Cm}{\mathbb{C}} +\newcommand{\F}{\mathbb{F}} +\newcommand{\I}{\mathbb{I}} +\newcommand{\id}{\mathrm{id}} +\newcommand{\imp}[2]{ + (#1\,\,$\ra$\,\,#2)\,\, +} +\newcommand{\System}[1]{ + \left\{\begin{aligned}#1\end{aligned}\right. +} +\newcommand{\Root}[2]{ + \left\{\!\sqrt[#1]{#2}\right\} +} +\newcommand{\RR}{\R} +\newcommand{\NN}{\N} +\newcommand{\sub}{\subset} +\newcommand{\sconstr}{\;\vert\;} +\newcommand{\thus}{\implies} + +\newcommand{\defeq}{\vcentcolon= } +\newcommand{\defev}{\stackrel{\Delta}{\Longleftrightarrow}} +\newcommand{\deriv}[3][1]{% + \ifthenelse{#1>1}{% + \frac{\dlta^{#1} {#2}}{\dlta {#3}^{#1}} + }{% + \frac{\dlta {#2}}{\dlta {#3}} + }% +} + +\renewcommand\labelitemi{$\triangleright$} + +\let\bs\backslash +\let\lra\Leftrightarrow +\let\ra\Rightarrow +\let\la\Leftarrow +\let\emb\hookrightarrow + +%%% Перенос знаков в формулах (по Львовскому) +\newcommand{\hm}[1]{#1\nobreak\discretionary{}{\hbox{$\mathsurround=0pt #1$}}{}} + +%%% Работа с картинками +\usepackage{graphicx} % Для вставки рисунков +\setlength\fboxsep{3pt} % Отступ рамки \fbox{} от рисунка +\setlength\fboxrule{1pt} % Толщина линий рамки \fbox{} +\usepackage{wrapfig} % Обтекание рисунков текстом + +%%% Работа с таблицами +\usepackage{array,tabularx,tabulary,booktabs} % Дополнительная работа с таблицами +\usepackage{longtable} % Длинные таблицы +\usepackage{multirow} % Слияние строк в таблице + +%%% Теоремы +\theoremstyle{plain} +\newtheorem{theorem}{Теорема}[section] +\newtheorem{lemma}{Лемма}[section] +\newtheorem{proposition}{Утверждение}[section] +\newtheorem{property}{Свойство}[section] +\newtheorem*{exercise}{Упражнение} +\newtheorem*{problem}{Задача} + +\theoremstyle{definition} +\newtheorem{definition}{Определение}[section] +\newtheorem*{corollary}{Следствие} +\newtheorem*{note}{Замечание} +\newtheorem*{reminder}{Напоминание} +\newtheorem*{example}{Пример} +\theoremstyle{remark} +\newtheorem*{solution}{Решение} + +%%% Оформление страницы +\usepackage{extsizes} % Возможность сделать 14-й шрифт +\usepackage{geometry} % Простой способ задавать поля +\usepackage{setspace} % Интерлиньяж +\usepackage{enumitem} % Настройка окружений itemize и enumerate +\setlist{leftmargin=25pt} % Отступы в itemize и enumerate + +\geometry{top=25mm} % Поля сверху страницы +\geometry{bottom=30mm} % Поля снизу страницы +\geometry{left=20mm} % Поля слева страницы +\geometry{right=20mm} % Поля справа страницы + +\setlength\parindent{15pt} % Устанавливает длину красной строки 15pt +\linespread{1.3} % Коэффициент межстрочного интервала +%\setlength{\parskip}{0.5em} % Вертикальный интервал между абзацами +%\setcounter{secnumdepth}{0} % Отключение нумерации разделов +%\setcounter{section}{-1} % Нумерация секций с нуля +\usepackage{multicol} % Для текста в нескольких колонках +\usepackage{soulutf8} % Модификаторы начертания +\mathtoolsset{showonlyrefs=true} % показывать номера формул только у тех, у которых есть ссылки по eqref +%%% Содержаниие +\usepackage{tocloft} +\tocloftpagestyle{main} +%\setlength{\cftsecnumwidth}{2.3em} +%\renewcommand{\cftsecdotsep}{1} +%\renewcommand{\cftsecpresnum}{\hfill} +%\renewcommand{\cftsecaftersnum}{\quad} + +%%% Шаблонная информация для титульного листа +\newcommand{\CourseName}{АЛКТГ} +\newcommand{\FullCourseNameFirstPart}{\so{АЛГЕБРА ЛОГИКИ, КОМБИНАТОРИКА, ТЕОРИЯ ГРАФОВ}} +\newcommand{\SemesterNumber}{I} +\newcommand{\LecturerInitials}{Ильинский Дмитрий Геннадиевич} +\newcommand{\CourseDate}{осень 2023} +\newcommand{\AuthorInitials}{Цеденов Артем} +\newcommand{\VKLink}{https://vk.com/darkness11235} +\newcommand{\GithubLink}{https://github.com/MIPT-Group/Lectures_Tex_Club} + +%%% Колонтитулы +\usepackage{titleps} +\newpagestyle{main}{ + \setheadrule{0.4pt} + \sethead{\CourseName}{}{\hyperlink{intro}{\;Назад к содержанию}} + \setfootrule{0.4pt} + \setfoot{ФПМИ МФТИ, \CourseDate}{}{\thepage} +} +\pagestyle{main} + +%%% Нумерация уравнений +\makeatletter +\def\eqref{\@ifstar\@eqref\@@eqref} +\def\@eqref#1{\textup{\tagform@{\ref*{#1}}}} +\def\@@eqref#1{\textup{\tagform@{\ref{#1}}}} +\makeatother % \eqref* без гиперссылки +\numberwithin{equation}{section} % Нумерация вида (номер_секции).(номер_уравнения) +\mathtoolsset{showonlyrefs= true} % Номера только у формул с \eqref{} в тексте. + +%%% Гиперссылки +\usepackage{hyperref} +\usepackage[usenames,dvipsnames,svgnames,table,rgb]{xcolor} +\hypersetup{ + unicode=true, % русские буквы в раздела PDF + colorlinks=true, % Цветные ссылки вместо ссылок в рамках + linkcolor=black!15!blue, % Внутренние ссылки + citecolor=green, % Ссылки на библиографию + filecolor=magenta, % Ссылки на файлы + urlcolor=NavyBlue, % Ссылки на URL +} + +%%% Графика +\usepackage{tikz} % Графический пакет tikz +\usepackage{tikz-cd} % Коммутативные диаграммы +\usepackage{tkz-euclide} % Геометрия +\usepackage{stackengine} % Многострочные тексты в картинках +\usetikzlibrary{angles, babel, quotes} + +%\usepackage{paratype} +%\usepackage{euler} + +%\usepackage{microtype} + +%\everymath{\displaystyle} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/10lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/10lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..6cfc7657 --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/10lecture.tex @@ -0,0 +1,95 @@ +%09.03.23 + +\section{Отношения.} + +\begin{definition} + \textit{Отношение} -- произвольное подмножество декартово произведения непустых множество $A, B.$ То есть это множество $R \subseteq A \times B.$ При этом $$(a, b) \in R \Longleftrightarrow a R b.$$ + Также + $$\forall a \in A: R(a) = \{ b \in B| (a, b) \in R\}.$$ +\end{definition} + +\begin{definition} + Отношение $R$ \textit{функционально}, если $R$ -- функция, то есть $$\forall a \in A \ |R(a)| \leq 1.$$ +\end{definition} + +\begin{definition} + Отношение $R$ \textit{(лево) тотальное}, если $R$ -- функция, то есть $$\forall a \in A \ |R(a)| \geq 1.$$ + Отношение $R$ \textit{право-тотальное}, если $R$ -- функция, то есть $$\forall b \in B \ \exists a \in A: (a, b) \in R.$$ + Отношение $R$ \textit{инъективное}, если при $a' \neq a \ \ R(a) \cap R(a') = \varnothing.$ +\end{definition} + +\subsection{Бинарное отношение.} + +\begin{definition} + Подмножеством декартового произведения $A \times A$ называется \textit{бинарным отношением.} +\end{definition} + +У такого отношения есть могут быть следующие свойства: +\begin{enumerate} + \item Рефлексивность: $\forall a \in A \ a R a$ + \item Симметричность: если $a R b,$ то $b R a$ + \item Транзитивность: если $a R b$ и $b R c,$ то $a R c.$ +\end{enumerate} + +\begin{definition} + Если бинарное отношение обладает этими свойствами, то его называют \textit{отношением эквивалентности.} +\end{definition} + +\begin{example} + Равенство треугольников -- является отношением эквивалентности. +\end{example} + +\begin{example} + Компонент связности в графе. Пусть $v, w \in V$ эквивалентны, если $\exists$ путь из $v$ в $w.$ +\end{example} + + +\subsection{Класс эквивалентности.} + +\begin{definition} + Пусть задано множество $A,$ $R-$ отношение эквивалентности на $A.$ Тогда + $$R_{a} = [a]_{R} = [a] = \{ b \in A | \ a R b\}.$$ +\end{definition} + +\begin{proposition} + Если $b, c \in [a],$ то $bRc.$ +\end{proposition} + +\begin{proof} +$b, c \in [a] \Longrightarrow aRb, aRc \Longrightarrow bRc.$ +\end{proof} + +\begin{proposition} + $a, b \in A \Longrightarrow [a] \cup [b] = \varnothing \vee [a] = [b].$ +\end{proposition} + +\begin{proof} + Пусть пересечение не пусто, есть общий элемент $x.$ Тогда + $aRx, \ bRx \Longrightarrow aRx, \ xRb \Longrightarrow a R b \Longrightarrow [b] \subseteq [a].$ + Аналогично доказывается другое дополнение. +\end{proof} + +\begin{definition} + \textit{Разбиение} множества $A$ -- это набор непересекающихся подмножеств $f \subseteq 2^A$ такой, что + $$A = \underset{S \in f}{\cup} S.$$ +\end{definition} + +\begin{theorem} + Пусть $A, R-$ отношение эквивалентности. Тогда $A$ разбивается на классы эквивалентности по отношению $R.$ +\end{theorem} + +\begin{proof} + Это вытекает из утверждения $6.1.$ +\end{proof} + +\begin{proposition} + Есть биекция между отношением эквивалентности на $A$ и разбиением $A$ на подмножества. +\end{proposition} + +\subsection{Операции с отношениями.} + +Можно брать объединение отношений, пересечение, дополнение. + +\begin{definition} + $$R^{-1} \subseteq B \times A, (b, a) \in R^{-1} \Longleftrightarrow (a, b) \in R.$$ +\end{definition} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/11lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/11lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..277fba9e --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/11lecture.tex @@ -0,0 +1,127 @@ +\subsection{Отношения порядка.} + +\begin{definition} + \textit{Антисимметричность} отношения $R$ означает что + $$aRb, \ bRa \Longrightarrow a = b.$$ + \textit{Асимметричность} отношения $R$ означает что + $$aRb \Longrightarrow \overline{bRa}.$$ + \textit{Антирефлексивность} отношения $R$ означает что + $$\overline{aRa}.$$ +\end{definition} + +\begin{definition} + Пусть $A-$ множество, $\geq_{A} -$ \textit{(нестрогое) отношение частичного порядка} на множестве $A,$ если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. А \textit{строгое отношение частичного порядка} $>_{A},$ если оно антирефлексивно, асимметрично и транзитивно. +\end{definition} + +\begin{example} + $a \geq b$ на $\N, \Z, \Q, \R.$ +\end{example} + +\begin{example} + $\subseteq$ на $2^{A}.$ +\end{example} + +\begin{example} + Делимость на $\N.$ +\end{example} + +\begin{example} + Лексикографический порядок на множестве слов русского языка. +\end{example} + +\subsection{Связность в ориентированном графе.} + +\begin{proposition} + В ориентированном графе: + \begin{enumerate} + \item Если есть маршрут из $v$ в $w$ $\Longrightarrow$ $\exists$ путь из $v$ в $w.$ + \item Если есть замкнутый маршрут $\Longrightarrow$ $\exists$ цикл. + \end{enumerate} +\end{proposition} + +Утверждение доказывается аналогично как для неориентированного графа. + +Рассмотрим отношение $v ~ w \Longleftrightarrow \exists$ путь из $v$ в $w.$ + +Заметим, что такое отношение не является отношением эквивалентности, так как может быть не выполняться симметричность. Тогда введем другое отношение. + +\begin{definition} + Вершины $v, w$ ориентированного графа находятся в отношении \textit{сильной связности}, если есть путь из $v$ в $w$ и если есть путь из $w$ в $v.$ \\ + Вершины $v, w$ ориентированного графа находятся в отношении \textit{слабой связности}, если есть путь из $v$ в $w$ или если есть путь из $w$ в $v.$ +\end{definition} + +Вот такие отношения являются отношениями эквивалентности, то есть они разбивают граф на компоненты. + +\begin{definition} + \textit{Конденсат} графа $G = (V, E)$ это граф, вершины которого -- компоненты сильной связности, а ребра проводятся, если есть ребро между вершинами, входящими в соответсвующие компоненты. +\end{definition} + +\begin{lemma} + $u, v \in V$ лежат в одной компоненте сильной связности $\Longleftrightarrow$ $u, v$ лежат на замкнутом маршруте. +\end{lemma} + + +\begin{proposition} + В конденсате нет циклов. +\end{proposition} + +\begin{lemma} + В ацикличном графе существует \textit{сток,} то есть вершина, из которой не выходят ребра. +\end{lemma} + +\begin{proof} + Рассмотрим самый длинный маршрут, он не замкнут (так как нет циклов). Из последней вершины этого маршрута не выходит ребро, так как мы выбрали самый длинный маршрут. +\end{proof} + + +\begin{theorem} + Для ориентированного графа следующие условия эквивалентны: + \begin{enumerate} + \item В графе нет циклов. + + \item Любая компонента сильной связности состоит из одного элемента. + + \item Можно занумеровать вершины так, что ребро идет от меньшего числа к большему. + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof} + $1 \Longleftrightarrow 2:$ + + + $3 \Longleftarrow 1:$ + + + $1 \Longrightarrow 3:$ Это доказывается так называемой топологической сортировкой. + +\end{proof} + +\subsection{Отношения строгого частичного порядка.} + +Изобразим это отношение с помощью ориентированного графа. Заметим, что такой граф ацикличен. Пусть он имеет цикл. + +А вот по графу нельзя восстановить отношение, так как оно может быть не транзитивным. + + +\subsubsection{Диаграмма Хассе.} + +Проводим ребро из $a$ в $b$ $\Longleftrightarrow a <_{A} b \wedge \neg \exists c: \ a <_A c <_A b.$ + + +\subsection{Максимальный элемент.} + +\begin{definition} + Пусть задано $(A, >_{A}).$ Тогда элемент $x$ называется \textit{максимальным,} если $\notexists y \in A: \ y >_{A} x.$ Аналогично определяется \textif{минимальный.} А также он называется \textit{наибольшим,} если $\forall y \in A \ x \geq_{A} y.$ Аналогично определяется \textit{наименьший} элемент. +\end{definition} + +\begin{proposition} + Если $x$ -- наибольший, то $x$ -- единственный максимальный. +\end{proposition} + +\begin{proof} + $x-$ наибольший, следовательно по определению он и максимальный. Если есть еще максимальный $z,$ то $x \geq_{A} z,$ противоречие. +\end{proof} + +\begin{note} + Однако не всегда верно, что если $x$ -- единственный максимальный, то $x$ -- наибольший. +\end{note} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/12lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/12lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..4238b4c8 --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/12lecture.tex @@ -0,0 +1,67 @@ +%16.03.23 + +\section{Булевы функции.} + +\begin{definition} + \textit{Базис} -- это некоторый набор функций. +\end{definition} + +\begin{example} + Стандартным базисом является $\{ \wedge, \vee, \neg \}$ +\end{example} + +\begin{definition} + \textit{Литерал} -- это $x_i,$ или $\overline{x_i}$ + \textit{Конъюнкт} -- это конъюнкция литералов. +\end{definition} + +Конъюнкт задает функцию $F(\alpha_1, \ldots, \alpha_k).$ + +\begin{definition} + \textit{Дизъюнктивная нормальная форма} -- это дизъюнкция конъюнктов. Аналогично определяется \textit{конъюнктивная нормальная форма}. +\end{definition} + +\begin{definition} + \textit{Булева схема в базисе $A$} -- это последовательность $S_1 = x_1, \ldots, S_n = x_n, S_{n + 1}, \ldots, S_k,$ которая начинается с переменных и $\forall j \geq n + 1 \ S_j = f(S_{i_1}, \ldots S_{i_l},$ где $i_1, \ldots, i_l < j, f \in A.$ +\end{definition} + +\begin{definition} + Базис $A$ называется \textit{полным,} если все булевы функции реализуются булевыми схемами в базисе $A.$ +\end{definition} + +\begin{definition} + \textit{Замыкание} базиса $A$ $cl(A)$ -- множество булевых функций, которые реализуются схемами в базисе $A.$ +\end{definition} + +\begin{proposition} + $B = \{1, \oplus, \wedge\}$ -- полный базис +\end{proposition} + +\begin{definition} + \textit{Многочлен Жегалкина} +\end{definition} + +Всего булевых функций от $n$ переменных $2^{2^n}.$ А всего многочленов Жегалкина $2^{2^n}.$ + +\begin{proposition} + Любая функция из $cl(B)$ -- это многочлен Жегалкина. +\end{proposition} + +\begin{definition} + \begin{enumerate} + \item \textit{Линейные функции} -- $L = cl\{1, \oplus\}.$ + + \item Функции, сохраняющие $0.$ + + \item Функции, сохраняющие $1.$ + + \item Самодвойственные функции. + + \item Монотонные функции. + \end{enumerate} +\end{definition} + + +\begin{theorem} + Базис $A$ полный $\Longleftrightarrow$ $cl(A)$ не лежит в $M$ или $T_0$ или $T_1$ или $S$ или $L.$ +\end{theorem} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/13lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/13lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..516d1fca --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/13lecture.tex @@ -0,0 +1,76 @@ +%22.03.23 +\section{Производящие функции -- 1.} + +\begin{definition} + Пусть дана последовательность $\{a_1, \ldots, a_n\}$ можно представлять в виде многочлена $a_0 + a_1x + \ldots + a_nx^n.$ +\end{definition} + +\begin{example} + $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \ldots, \binom{n}{n}$ представляется в виде $\binom{n}{0}x + \binom{n}{1} x + \ldots + \binom{n}{n} x ^ n = (1 + x) ^ n.$ +\end{example} + +А что же будет происходить с бесконечной последовательностью ? +Есть два подхода: +\begin{enumerate} + \item \underline{Аналитический подход.} $f(x)$ бесконечно дифференцируема в $0.$ Тогда по формуле Тейлора: + $$f(x) = f(0) + \frac{f^{(1)}(0)}{1!} + \frac{f^{(2)}(0)}{2!} + \ldots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!} + \ldots$$ + \item \underline{Алгебраический подход.} Тогда производящей функцией будет являться \textit{формальным степенным рядом.} То есть это будет просто последовательность чисел с введенными операциями сложения и умножения. +\end{enumerate} + +\begin{example} + Есть два формальных степенных ряда $A = \sum \frac{1}{n!}x^n, B = \sum \frac{(-1)^n}{n!}x^n.$ Найдем $C = A \cdot B.$ + $C = \frac{1}{n!} \cdot \sum \binom{n}{i} (-1)^i.$ + Но можно $A = e^x, B = e^{-x},$ тогда их произведение равно $-1.$ +\end{example} + +\begin{example} + Для степенного ряда $1 + x + x^2 + \ldots + x^n = \frac{1}{1 - x}$ это верно из формулы Тейлора, а также это можно показать формально перемножив его с $1 - x.$ +\end{example} + +\subsection{Формула Муавра с ограничениями.} + +\begin{problem} + \textbf{Формула Муавра.} Рассмотрим уравнение $x_1 + \ldots + x_n = n, \ x_i \in \N_{0}.$ Требуется найти количество решений такого уравнения. +\end{problem} + +\begin{solution} + Пусть $a_n$ -- количество решений этого уравнения. Запишем для этой последовательности производящую функцию. + $$a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^{n} + \ldots$$ + Если $k = 1, $ то производящая функция равна $\frac{1}{1 - x}.$ + Если $k = 2,$ то производящая функция равна + $$(1 + x + x^2 + \ldots) \cdot (1 + x + x^2 + \ldots) = \frac{1}{(1 - x) ^ 2}.$$ + Итак, для произвольного $k:$ + $$\frac{1}{(1 - x) ^ k}.$$ + Проверим: + По формуле Тейлора получим: + $$(1 - x) ^ {-k} = \sum_{n = 0}^{\infty} \binom{-k}{n}(-x)^n = \sum_{n = 0}^{\infty} \binom{k + n - 1}{n} \cdot x^n.$$ +\end{solution} + +Из этого решения явно следует способ решения модификации этой задачи, когда есть ограничения на значения переменных. + +\begin{problem} + Задача о счастливых билетах. +\end{problem} + +\begin{solution} + Рассмотрим уравнение в целых числах, не более $9.$ + $$x_1 + x_2 + x_3 = n.$$ + Пусть $b_n$ -- это количество решений такого уравнения. Тогда количество счастливых билетов равно $b_n \cdot b_n,$ то есть оно равно: + $$(1 + x + \ldots + x^9)^3 = (1 - x^{10})^3 \sum_{n = 0}^{\infty} \binom{n + 2}{n} x^n.$$ +\end{solution} + +\subsection{Разложение $n$ в сумму натуральных слагаемых.} + +В этой части для нас не важен порядок слагаемых разбиения. +Из диаграмм Юнга следуeт утвреждение. + +\begin{lemma} + Количество разложений $n$ в сумму слагаемых, где максимальное равно $k$ равно количество разложений $n$ в сумму ровно $k$ слагаемых +\end{lemma} + +\begin{lemma} +Количество разложений $n$ на попарно различные слагаемые равно количеству разложений $n$ на нечетные слагаемые. +\end{lemma} + +Производящая функция для количества разложений. Разложение перепишем так: $n = 1 \cdot x_{1} + 2 \cdot x_{2} + \ldots x_n \cdot n, x_j \geq 0.$ Тогда +$$(1 + x + x^2 + \ldots) (1 + x ^ 2 + \ldots + x^{2k} + \ldots) (1 + x ^ 3 + \ldots + x^{3k} + \ldots) \ldots (1 + x ^ n + \ldots + x^{kn} + \ldots) $$ \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/14lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/14lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..1fa82733 --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/14lecture.tex @@ -0,0 +1,17 @@ +\section{Производящие функции II} + +\subsection{Числа Фибоначчи.} + +Давайте попробуем найти формулу $n-$ого числа Фибоначчи. Рассмотрим для этой последовательности производящую функцию. + +$$F(x) = \sum_{k = 0}^{\infty} F_n x^n$$ +Рассмотрим $F(x) - xF(x) - x^2F(x) = F_0 + (F_1 - F_0)x = x.$ Тогда $F(x) = \frac{x}{1 - x - x^2}.$ Разложим по методу неопределенных коэффициентов: +$$F(x) = \frac{A}{1 - \alpha_1 x} + \frac{B}{1 - \alpha_2 x}$$ +$A = \frac{1}{\alpha_1 - \alpha_2}, B = - \frac{1}{\alpha_1 - \alpha_2}.$ + +$\alpha_1, \alpha_2$ можно легко найти по формуле корней квадратного трехчлена. Отсюда получим формулу: +$$F(x) = \frac{1/\sqrt{5}}{1 - \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) x} - \frac{1/\sqrt{5}}{1 - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right) x}$$ +$$F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n \right)$$ + +\subsection{Числа Каталана.} + diff --git a/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/15lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/15lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..09e39ae6 --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/15lecture.tex @@ -0,0 +1,119 @@ +%29.03.23 + +\subsection{Подпространства метрического пространства} + +\begin{definition} +Пусть $(X, \rho)$ --- метрическое пространство, $E \subset X, E \neq \emptyset$. Сужение $\rho\vert_{E \times E}$ является метрикой на $E$. Пара $(E, \rho\vert_{E \times E})$ называется \emph{подпространством} $(X, \rho)$, а функция $\rho\vert_{E \times E}$ --- \emph{индуцированной метрикой}. +\end{definition} + +Рассмотрим $B_r^E (x) = \{y \in E \ | \ \rho(x, y) < r\} = B^X_r(x) \cap E$. + +\begin{lemma} + Пусть $(X, \rho)$ --- метрическое пространство, $E \subset X$. + \[ + \underbrace{U}_{\text{откр. в $E$}} \Leftrightarrow \exists \underbrace{V}_{\text{откр. в $X$}} \ (U = V \cap E). + \] + + + \begin{proof} + \emph{($\Rightarrow$)} Пусть $U$ открыто в $E$. Тогда $\forall x \in U \, \exists B_{\epsilon_x}^E(x) \subset U$ и, значит, $U = \bigcup_{x \in U} B_{\epsilon_x}^E (x)$. Положим $V = \bigcup_{x \in U} B_{\epsilon_x}^X (x)$. Тогда $V$ открыто в $X$ и $V \cap E = \bigcup_{x \in U} (B_{\epsilon_x}^X(x) \cap E) = \bigcup_{x \in U} B_{\epsilon_x}^E(x) = U$. + + \emph{($\Leftarrow$)} Пусть $x \in U$ и $U = \underbrace{V}_{\text{откр. в $X$}} \cap E$, тогда $x \in V \Rightarrow \exists B_\epsilon^X(x) \subset V \Rightarrow B_\epsilon^E(x) = B_\epsilon^X(x) \cap E \subset V \cap E = U$, то есть $U$ открыто в $E$. + \end{proof} +\end{lemma} + +\begin{corollary} + \[ + \underbrace{Z}_{\text{замк. в $E$}} \Leftrightarrow \exists \underbrace{F}_{\text{замк. в $X$}} \ (Z = F \cap E). + \] +\end{corollary} + +\begin{example} + $X = \R, E = (0, 10], A = (0, 1], B = (2, 3], C = (9, 10]$. + + \begin{itemize} + \item $A$ замкнуто в $E$, $A = [-1, 1] \cap E$; + \item $C$ открыто в $E$, $C = (9, 11) \cap E$; + \item $B$ не открыто и не замкнуто в $E$. + \end{itemize} +\end{example} + +\subsection{Компакты в метрических пространствах} + +\begin{definition} + Пусть $X$ --- множество, $Y \subset X$. Семейство $\{X_\alpha\}_{\alpha \in A}$ подмножеств $X$ называется \emph{покрытием $Y$}, если $Y \subset \bigcup_{\alpha \in A} X_\alpha$. + + Если $B \subset A$ и $\{X_\alpha\}_{\alpha \in B}$ также является покрытием $Y$, то оно называется \emph{подпокрытием}. +\end{definition} + +\begin{definition} + Пусть $(X, \rho)$ --- метрическое пространство, $K \subset X$. $K$ называется \emph{компактом} (в $X$), если из любого его открытого покрытия $\{G_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$ можно выделить конечное подпокрытие, то есть $\exists \lambda_1, \ldots \lambda_m \in \Lambda \ (K \subset G_{\lambda_1} \cup \ldots \cup G_{\lambda_m})$. +\end{definition} + +\begin{example} + $X = \R \Rightarrow [a, b]$ --- компакт по теореме Гейне-Бореля. +\end{example} + +\begin{note} + K --- компакт в $X$ тогда и только тогда, когда $K$ --- компакт <<в себе>>, то есть в $(K, \rho)$. +\end{note} + +\begin{lemma} + \label{lem_lim_closed} + Пусть $(X, \rho)$ --- метрическое пространство, $K \subset X$. Если $K$ --- компакт, то $K$ ограничено и замкнуто в $X$. + + \begin{proof} + Пусть $a \in K$. Так как $\bigcup_{n = 1}^\infty B_n(a) = X$, то $\{B_n(a)\}_{n \in \N}$ --- открытое покрытие $K$. Следовательно, $K \subset B_{n_1}(a) \cup \ldots \cup B_{n_m}(a) = B_N(a)$, где $N = \max_{1 \le i \le m}\{n_i\}$, и, значит, $K$ ограничено. + + Пусть $a \in X \setminus K$. Так как $\bigcup_{n=1}^{\infty}\left(X \setminus \overline{B}_{\frac{1}{n}}(a)\right) = X \setminus \{a\}$, то $\{X \setminus \overline{B}_{\frac{1}{n}} (a)\}_{n \in \N}$ --- открытое покрытие $K$. Следовательно, $K \subset \left(X \setminus \overline{B}_{\frac{1}{n_1}}(a)\right) \cup \ldots \cup \left(X \setminus \overline{B}_{\frac{1}{n_m}}(a)\right) = X \setminus \overline{B}_{\frac{1}{N}}(a)$, где $N = \max_{1 \le i \le m}\{n_i\}$. Тогда $\overline{B}_{\frac{1}{N}}(a) \subset X \setminus K$ и, значит, $X \setminus K$ открыто, а значит, $K$ -- замкнуто. + \end{proof} +\end{lemma} + +\begin{lemma} + \label{lem_comp_subset} + Замкнутое подмножество компакта --- компакт. + + \begin{proof} + Пусть $K$ --- компакт в $X$, $\underbrace{F}_{\text{замк. в $X$}} \subset K$. Покажем, что $F$ -- компакт. Рассмотрим открытое покрытие $\{G_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$ множества $F$, тогда $\{G_{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda} \cup \{X \setminus F\}$ --- открытое покрытие $K$, так как $\left(\bigcup_{\lambda \in \Lambda} G_\lambda\right) \cup (X \setminus F) = X$. Поскольку $K$ --- компакт, то $K \subset G_{\lambda_1} \cup \ldots \cup G_{\lambda_m} \cup (X \setminus F) \overset{F \subset K}{\Rightarrow} F \subset G_{\lambda_1} \cup \ldots \cup G_{\lambda_m}$. Значит, $F$ -- компакт. + \end{proof} +\end{lemma} + +\begin{problem} + Пусть $\{F_n\}$ --- непустые компакты в $X$, $F_1 \supset F_2 \supset \ldots$. Покажите, что $\bigcap_{n = 1}^\infty F_n \neq \emptyset$. +\end{problem} + +\begin{theorem} + \label{compact-criterion} + Пусть $(X, \rho)$ --- метрическое пространство, $K \subset X$. $K$ --- компакт тогда и только тогда, когда из любой последовательности элементов $K$ можно выделить сходящуюся в $K$ подпоследовательность. + + \begin{proof} + \emph{($\Rightarrow$)} Пусть $\forall n \in \N \ x_n \in K$. Предположим, что из $\{x_n\}$ нельзя выделить сходяющуюся подпоследовательность в $K$. Тогда $\forall a \in K \ \exists \delta_a > 0 \ \exists N_a \ \forall n \ge N_a \ (x_n \not\in B_{\delta_a}(a))$. + + Рассмотрим $\{B_{\delta_a}(a)\}_{a \in K}$ --- открытое покрытие $K$. Следовательно, $K \subset B_{\delta_{a_1}}(a_1) \cup \ldots \cup B_{\delta_{a_m}}(a_m)$. + + Положим $N = \max_{1 \le i \le m} \{N_{a_i}\}$. Так как $N \ge N_{a_i}$, то $x_N \not\in B_{\delta_{a_i}}(a_i)$ $i = 1, \ldots, m \Rightarrow x_N \not\in K$ --- противоречие. + + \emph{($\Leftarrow$)} Пусть из любой последовательности элементов $K$ можно выделить сходящуюся в $K$ подпоследовательность \emph{(секвенциальная компактность)}. + + \begin{enumerate} + \item Покажем, что для любого $\epsilon > 0$ $K$ можно покрыть конечным набором открытых шаров радиуса $\epsilon$. + + Докажем от противного -- пусть нельзя покрыть. Индуктивно построим последовательность $\{x_n\}$, $x_1 \in K, x_n \in K \setminus \bigcup_{i = 1}^{n - 1} B_\epsilon(x_i)$. + + По построению $\rho(x_i, x_j) \geq \epsilon$, и, значит, из $\{x_n\}$ нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность -- противоречие. + + \item Пусть $\{G_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$ --- открытое покрытие $K$, тогда $\exists \epsilon > 0 \, \forall x \in K \, \exists \lambda \in \Lambda \ \left(B_\epsilon(x) \ \subset G_\lambda\right)$. Предположим, что это не выполняется, тогда $\forall n \in \N \, \exists x_n \in K \, \forall \lambda \in \Lambda \left(B_{\frac{1}{n}}(x_n) \not\subset G_\lambda\right)$. + + Имеем $\{x_n\} \subset K \Rightarrow \exists x_{n_k} \rightarrow x \in K$, следовательно, $\exists \lambda_0 \in \Lambda (x \in \underbrace{G_{\lambda_0}}_{\text{откр.}}) \Rightarrow \exists B_{\alpha}(x) \subset G_{\lambda_0}$. Выберем $k$ так, чтобы $x_{n_k} \in B_{\frac{\alpha}{2}}(x)$ и $\frac{1}{n_k} < \frac{\alpha}{2}$. Если $z \in B_{\frac{1}{n_k}}(x_{n_k}) \Rightarrow \rho(z, x) \le \rho(z, x_{n_k}) + \rho(x_{n_k}, x) < \frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} = \alpha$. + + Следовательно, $z \in B_\alpha(x)$, $B_{\frac{1}{n_k}}(x_{n_k}) \subset B_\alpha(x) \subset G_{\lambda_0}$ --- противоречие. + + \item Пусть $\{G_{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda}$ -- открытое покрытие $K$. Тогда по (2): + \[\exists \epsilon > 0 \ \forall x \in K \ \exists \lambda \in \Lambda \ (B_{\epsilon}(x) \subset G_{\lambda})\] + + По (1) $\exists x_{1}, x_{2}, ..., x_{m} \in K$, что $K \subset B_{\epsilon}(x_{i}) \cup ... \cup B_{\epsilon}(x_{m}) \subset G_{\lambda_{1}} \cup ... \cup G_{\lambda_{m}}$, где $\lambda_{i}$ удовлетворяет условию $B_{\epsilon}(x_{i}) \subset G_{\lambda_{i}}$. + + Следовательно, $K$ -- компакт. + \end{enumerate} + \end{proof} +\end{theorem} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/16lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/16lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..ea935aaf --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/16lecture.tex @@ -0,0 +1,116 @@ +%30.03.23 + +Опишем компакты в Евклидовом пространстве $\R^{n}$. + +\begin{example} + Замкнутый брус $R = [a_{1}, b_{1}] \times \ldots \times [a_{n}, b_{n}]$ является компактом в $\R^{n}$. +\end{example} + +\begin{proof} + Метод математической индукции по $n$. + + \begin{itemize} + \item База: $n = 1$ -- компакт по лемме Гейне--Бореля. + \item Предположение: Пусть верно для $n$. + \item Переход: $R = \underbrace{[a_{1}, b_{1}] \times \ldots \times [a_{n}, b_{n}]}_{R'} \times [a_{n+1}, b_{n+1}]$ в $\R^{n+1}$. + + Пусть $\{x_{k}\} \subset R$, $x_{k} = (\underbrace{x_{1, k}, \ldots, x_{n, k}}_{y_{k}}, x_{n+1, k})^{T}$. Тогда $\{y_{k}\} \subset R'$ и $R'$ -- компакт $\Rightarrow$ $\exists \{y_{k_{i}}\}: \ y_{k_{i}} \to y_{0} \in R'$. Рассмотрим последовательность $\{x_{n+1, k_{i}}\} \subset [a_{n+1}, b_{n+1}]$ -- компакт $\Rightarrow$ $\exists \{x_{n+1}, k_{i_{j}}\}: \ x_{n+1, k_{i_{j}}} \to x_{n+1, 0} \in [a_{n+1}, b_{n+1}]$. + + Тогда $y_{k_{i_{j}}} \to y_{0} = \left(x_{1,0}, \ldots, x_{n, 0}\right)^{T}$ как подпоследовательность сходящейся последовательности. Пусть $a = \left(x_{1,0}, \ldots, x_{n, 0}, x_{n+1, 0}\right)^{T} \in R$. Тогда $x_{k_{i_{j}}} \to a$ и, значит, $R$ компакт по теореме ($\ref{compact-criterion}$). + \end{itemize} +\end{proof} + +\begin{corollary} + \label{criterion-compact-corollary} + Множество $K$ является компактом в $\R^{n}$ $\lra$ $K$ ограничено и замкнуто +\end{corollary} + +\begin{proof} + $\Rightarrow$ лемма (\ref{lem_lim_closed}). + + $\Leftarrow$ Если $K$ ограничено, то $K \subset B_{r}(x)$ для некоторой точки $x = (x_{1}, \ldots, x_{n})^{T}$ и $r > 0$. Рассмотрим замкнутый брус $[x_{1} - r, x_{1} + r] \times \ldots \times [x_{n} - r, x_{n} + r]$. Этот брус содержит $B_{r}(x)$, а значит, и $K$. + + Тогда $K$ -- компакт по лемме (\ref{lem_comp_subset}). +\end{proof} + +\begin{corollary}[теорема Больцано--Вейерштрасса] + Из любой ограниченной последовательности в $\R^{n}$ можно выделить сходящуюся подпоследовательность. +\end{corollary} + +\begin{proof} + Если последовательность ограничена, то она лежит в некотором замкнутом шаре. Этот шар -- компакт по следствию (\ref{criterion-compact-corollary}). Осталось применить теорему (\ref{compact-criterion}). +\end{proof} + +\begin{note} + В общих метрических пространствах из ограниченности и замкнутости не следует компактность. +\end{note} + +\begin{example} + $X = \R$ с дискретной метрикой, $K = [0, 1]$ -- ограничено, замкнуто. Рассмотрим $\underset{x \in K}{\cup} B_{\frac{1}{2}}(x) = K$. Из этого покрытия нельзя выделить конечное подпокрытие. +\end{example} + +\subsection{Полные метрические пространства} + +Пусть $(X, \rho)$ -- метрическое пространство. + +\begin{definition} + Последовательность $\{x_{n}\}$ в $X$ называется \textit{фундаментальной}, если + \[\forall \epsilon > 0 \ \exists N \ \forall n, m \geq N \ (\rho(x_{n}, x_{m}) < \epsilon).\] +\end{definition} + +\begin{lemma} + Всякая сходящаяся последовательность фундаментальна. +\end{lemma} + +\begin{proof} + $x_{n} \in X$, $x_{n} \to a$. Пусть $\epsilon > 0$, тогда $\exists N \ \forall n \geq N \ (\rho(x_{n}, a) < \frac{\epsilon}{2})$. Следовательно, $\forall n, m \geq N$: + \[\rho (x_{n}, x_{m}) \leq \rho(x_{n}, a) + \rho(x_{m}, a) < \epsilon.\] +\end{proof} + +Обратное утверждение неверно. + +\begin{example} + $X = (0, 1)$, $\rho(x, y) = |x - y|$. $\left\{\frac{1}{n}\right\}$ -- фундаментальна, однако не имеет предела в $X$. +\end{example} + +\begin{definition} + Метрическое пространство называется \textit{полным}, если всякая фундаментальная последовательность в нем сходится. +\end{definition} + +\begin{theorem} + Евклидово пространство $\R^{n}$ -- полное. +\end{theorem} + +\begin{proof}~ + + Пусть $\{x_{k}\}$ -- фундаментальная последовательность в $\R^{n}$, $x_{k} = (x_{1, k}, \ldots, x_{n, k})^{T}$. Так как $|x_{i, k} - x_{i, m}| \leq \rho_{2}(x_{k}, x_{m})$, то из фундаментальности $\{x_{k}\}$ следует фундаментальность $\{x_{i, k}\}$ в $\R$ для $i = 1, \ldots , n$. По критерию Коши для числовых последовательностей $x_{i, k} \to a_{k} \in \R$. Рассмотрим $a = (a_{1}, \ldots, a_{n})^{T}$. $\rho_{2}(x_{k}, a) = \sqrt{\sum_{i = 1}^{n}(x_{k, i} - a_{i})^{2}} \to 0$ при $k \to \infty$. Значит, $x_{k} \to a \Rightarrow$ $\R^{n}$ -- полное метрическое пространство. +\end{proof} + +\begin{example} + $B(E)$ -- линейное пространство всех \textit{ограниченных} функций $f: E \to \R$. + + $B(E)$ является нормированным пространством относительно $\|f\| = \sup_{x \in E}|f(x)|$. Имеем $\sup|f(x) + g(x)| \leq \sup|f(x)| + \sup|g(x)|$. Имеем $f_{n} \to f$ в $B(E) \lra \|f_{n} - f\| \to 0 \lra \sup_{x \in E}|f_{n}(x) - f(x)| \to 0 \lra f_{n} \rightrightarrows f$ на $E$. +\end{example} + +\begin{theorem} + $B(E)$ -- полное. +\end{theorem} + +\begin{proof} + Пусть $\{f_{n}\}$ фундаментальна в $B(E)$, $\epsilon > 0$. Тогда + \[\exists N \ \forall n, m \geq N \ (\sup_{x \in E} |f_{n}(x) - f_{m}(x)| \leq \epsilon).\] + + По критерию Коши равномерной сходимости $\exists f: f_{n} \rightrightarrows f$ на $E$. Осталось доказать, что равномерный предел ограниченных функций -- ограниченная функция. Для $\epsilon = 1$ $\exists N: |f_{N}(x) - f(x)| \leq 1 \ \forall x \in E \Rightarrow |f(x)| \leq |f_{N}(x)| + 1 \Rightarrow f \in B(E) \Rightarrow B(E)$ -- полное. +\end{proof} + +\begin{corollary} + $C([a, b])$ -- линейное пространство всех непрерывных $f: [a, b] \to \R$ -- полное. +\end{corollary} + +\begin{proof} + $C([a, b]) \subset B(E)$ (теорема Вейерштрасса). $C([a, b])$ -- полное как замкнутое подпространство (подмножество) полного пространства $B(E)$. +\end{proof} + +\begin{problem} + Покажите, что $\overline{B_{1}}(\Theta)$ в $C([0, 1])$ не является компактом ($\Theta$ -- нулевая функция). +\end{problem} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/17lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/17lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..a0a60fd1 --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/17lecture.tex @@ -0,0 +1,178 @@ +%01.03.23 + +\section{Непрерывные функции} + +\subsection{Предел функции в точке} + +Пусть $(X, \rho_{x}), (Y, \rho_{y})$ -- метрические пространства, $a$ -- предельная точка $X$, и задана функция $f: X \setminus \{a\} \to Y$. + +\begin{definition}[Коши] + Точка $b \in Y$ называется \textit{пределом} функции $f$ в точке $a$, если + + \[\forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall x \in X (0 < \rho_{X}(x, a) < \delta \Rightarrow \rho_{Y}(f(x), b) < \epsilon)\] + + или, что эквивалентно, + \[\forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall x \in X (x \in \mathring{B}_{\delta}(a) \Rightarrow f(x) \in B_{\epsilon}(b).\] +\end{definition} + +\begin{definition}[Гейне] + Точка $b \in Y$ называется \textit{пределом} функции $f$ в точке $a$, если + + \[\forall \{x_{n}\}, x_{n} \in X \setminus \{a\} (x_{n} \to a \Rightarrow f(x_{n}) \to b).\] + +\end{definition} + +Как и в случае числовых функций, доказывается равносильность определений по Коши и по Гейне, поэтому в обоих случаях пишут $\lim_{x \to a}f(x) = b$, или $f(x) \to b$ при $x \to a$. + +\begin{property}[единственность] + Если $\lim_{x \to a}f(x) = b$ и $\lim_{x \to a}f(x) = c$, то $b = c$. +\end{property} + +\begin{proof} + Пусть $x_{n} \to a$ и $x_{n} \neq a$. По определению Гейне $f(x_{n}) \to b$ и $f(x_{n}) \to c$. Так как последовательность в метрическом пространстве имеет не более одного предела, то $b = c$. +\end{proof} + +\begin{note} + Пусть $E \subset \R^{n}$, $a$ -- предельная точка $E$, функция $f: E \to \R^{m}$. Если $x \in E$, то $f(x) = (y_{1}, \ldots, y_{m})$, и значит, для каждого $i = 1, \ldots, m$ определена \textit{$i$-я координатная функция} $f_{i}: E \to \R$, $f_{i}(x) = y_{i}$. Пишут $f = (f_{1}, \ldots, f_{m})$. +\end{note} + +\begin{lemma}[о покоординатной сходимости] + $\lim_{x \to a}f(x) = b \lra \lim_{x \to a} f_{i}(x) = b_{i}$. +\end{lemma} + +\begin{proof} + Следует из неравенств $|x_{i} - b_{i}| \leq \rho_{2}(x, b) \leq \sqrt{m}\max_{1 \leq i \leq m}|x_{i} - b_{i}|$. +\end{proof} + +\begin{example} + \begin{enumerate} + \item $f(x, y) = \frac{x^{3} + y^{3}}{x^{2} + y^{2}}$. + + $|f(x, y) - 0| = \frac{|x^{3} + y^{3}|}{x^{2} + y^{2}} \leq \frac{|x^3| + |y^3|}{x^2 + y^2} \leq 2\cdot \frac{\left(\sqrt{x^2 + y^2}\right)^{3}}{x^2 + y^2} = 2\sqrt{x^2 + y^2} < \epsilon \Rightarrow \rho_{2}((x, y), (0, 0)) < \frac{\epsilon}{2}$. $(\delta = \frac{\epsilon}{2})$. + + \item $f(x, y) = \frac{xy + y^2}{x^2 + y^2}$. + + $f(x, 0) = 0$, $f(0, y) = 1 \Rightarrow$ предела в $(0, 0)$ нет. + \end{enumerate} +\end{example} + +\begin{property} + $f, g: X \setminus \{a\} \to \R$ и $\lim_{x \to a} f(x) = b$, $\lim_{x \to a} g(x) = c$. Тогда $\lim_{x \to a} (f(x) + g(x)) = b + c$, $\lim_{x \to a} f(x)g(x) = bc$. +\end{property} + +\begin{proof} + $x_{n} \in X \setminus \{a\}$, $x_{n} \to a \Rightarrow f(x_{n}) \to b$, $g(x_{n}) \to c \Rightarrow f(x_{n}) + g(x_{n}) \to b + c$, $f(x_{n})g(x_{n}) \to bc$. Утверждение следует по определению Гейне. +\end{proof} + +В дальнейшем, говоря о <<пределе по подможеству>>, всегда будем иметь в виду подпространство с индуцированной метрикой. + +\begin{property}[предел по подмножеству] + \label{proper3} + Пусть $E \subset X$, $a$ -- предельная точка множества $E$. Если $\lim_{x \to a} f(x) = b$, то $\lim_{x \to a} (f|_{E})(x) = b$. +\end{property} + +\begin{proof} + Пусть $x_{n} \subset E$, $x_{n} \to a$ и $x_{n} \neq a$. Тогда $(f|_{E})(x_{n}) = f(x_{n}) \to b$. По определению Гейне $\lim_{x \to a}(f|_{E})(x) = b$. +\end{proof} + +Пусть $f: D \to \R$, $D \subset \R^{n}$, $a, u \in \R^{n}$ и $|u| = 1$. +$\{a + tu: 0 < t < \Delta\} \subset D$ для некоторого $\Delta > 0$. +Тогда $\lim_{t \to +0}f(a + tu)$ называется \textit{пределом $f$ в точке $a$ по направлению $u$}. По свойству (\ref{proper3}) $\lim_{t \to +0}f(a) = b \Rightarrow \lim_{t \to +0} f(a + tu) = b$. Обратное утверждение неверно. + +\begin{example} + $f(x, y) = \begin{cases} + 1, y = x^2, x \geq 0. \\ + 0, \text{иначе}. + \end{cases}$ + Рассмотрим $f(\frac{1}{n}, \frac{1}{n^{2}}) = 1$, $f(\frac{1}{n}, 0) = 0 \Rightarrow$ нет предела. +\end{example} + +\begin{property}[локальная ограниченность] + Если существует $\lim_{x \to a} f(x)$, то $\exists \delta > 0: f(\mathring{B}_{\delta}(a))$ ограничено. +\end{property} + +\begin{proof} + Достаточно положить в определении Коши $\epsilon = 1$. +\end{proof} + +\begin{problem} + Пусть $X, Y$ -- метрические пространства, причем $Y$ полное, $a$ -- предельная точка $X$, и $f: X \setminus \{a\} \to Y$. Покажите, что $\lim_{x \to a} f(x)$ существует тогда и только тогда, когда + \[\forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall x, x' \in X (x, x' \in \mathring{B}_{\delta}(a) \Rightarrow \rho_{Y}(f(x), f(x')) < \epsilon).\] +\end{problem} + +Положим $a = (x_{0}, y_{0}), f: \mathring{B}_{\Delta}(x_{0}, y_{0}) \to \R$. +\begin{definition} + Пусть $\exists \sigma > 0 \ \forall x \in (x_{0} - \sigma, x_{0} + \sigma) \setminus \{x_{0}\}$ существует $\lim_{y \to y_{0}} f(x, y) = \phi(x)$. Предел функции $\phi$ в точке $x_{0}$ называется \textit{повторным пределом}: + \[\lim_{x \to x_{0}} \phi(x) = \lim_{x \to x_{0}}\lim_{y \to y_{0}}f(x, y).\] +\end{definition} + +\begin{lemma} + Пусть $f: \mathring{B}_{\Delta}(x_{0}, y_{0}) \to \R$, такая что + \begin{enumerate} + \item $\underset{y \to y_{0}}{\underset{x \to x_{0}}{\lim}} f(x, y) = b$; + \item $\exists \sigma > 0 \ \forall x \in (x_{0} - \sigma, x_{0} + \sigma) \setminus \{x_{0}\}$ существует $\lim_{y \to y_{0}} f(x, y) = \phi(x)$ (конечный). + \end{enumerate} + Тогда $\lim_{x \to x_{0}}\lim_{y \to y_{0}}f(x, y) = b$. +\end{lemma} + +\begin{proof} + Положим $\delta_{0} = \min\{\Delta, \sigma\}$. Зафиксируем $\epsilon > 0$. Тогда + \[\exists \delta \in (0, \delta_{0}) \ \forall (x, y) \ \mathring{B}_{\delta}(x_{0}, y_{0})\left(|f(x, y) - b| < \frac{\epsilon}{2}\right).\] + + $\forall x \in (x_{0} - \delta, x_{0} + \delta) \setminus \{x_{0}\}$ существует $\phi(x)$. Перейдем к пределу при $y \to y_{0}$: + \[|\phi(x) - b| \leq \frac{\epsilon}{2} < \epsilon.\] + + Это доказывает, что $\lim_{x \to x_{0}}\phi(x) = b$, что и требовалось доказать. +\end{proof} + +\subsection{Непрерывные функции} + +Пусть $(X, \rho_{X})$ и $(Y, \rho_{Y})$ -- метрические пространства и задана функция $f: X \to Y$. + +\begin{definition} + Функция $f$ \textit{непрерывна в точке} $a \in X$, если + \[\forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall x \in X \left(\rho_{X}(x, a) < \delta \Rightarrow \rho_{Y}(f(x), f(a)) < \epsilon\right)\] + или, что эквивалентно, + \[\forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall x \in X \left(x \in B_{\delta}(a) \Rightarrow f(x) \in B_{\epsilon}(f(a))\right).\] +\end{definition} + +\begin{example} + Координатная функция $p_{i}: \R^{n} \to \R$, $p_{i}(x_{1}, \ldots, x_{n}) = x_{i}$, непрерывна в каждой точке $\R^{n}$. Это следует из неравенства $|x_{i} - a_{i}| \leq \rho_{2}(x, a)$. +\end{example} + +\begin{lemma} + Пусть $f: X \to Y$, $a \in X$. Следующие условия эквивалентны: + \begin{enumerate} + \item функция $f$ непрерывна в точке $a$; + \item $\forall \{x_{n}\}$, $x_{n} \in X \left(x_{n} \to a \Rightarrow f(x_{n}) \to f(a)\right)$; + \item $a$ -- изолированная точка множества $X$ или $a$ -- предельная точка $X$ и $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. + \end{enumerate} +\end{lemma} + +\begin{proof} + $(1) \Rightarrow (2)$ Выберем $\epsilon > 0$ и соответствующее $\delta > 0$ из определения непрерывности. Если $x_{n} \to a$ (в $X$), то существует такой номер $N$, что $\rho_{X}(x_{n}, a) < \delta$ при всех $n \geq N$, но тогда $\rho_{Y}(f(x_{n}), f(a)) < \epsilon$ при $n \geq N$. Это означает, что $f(x_{n}) \to f(a)$. + + $(2) \Rightarrow (3)$ Если $a$ -- предельная точка $X$, то из условия $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ по определению Гейне. + + $(3) \Rightarrow (1)$ Если $a$ изолирована, то $B_{\delta_{0}}(a) \cap X = \{a\}$ для некоторого $\delta_{0} > 0$. Тогда для любого $\epsilon > 0$ определение непрерывности в точке $a$ выполняется при $\delta = \delta_{0}$. Пусть $a$ предельная для $X$. По определению предела по Коши $\forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall x \in E \left(0 < \rho_{X}(x, a) < \delta \Rightarrow \rho_{Y}(f(x), f(a)) < \epsilon\right)$. Но последняя импликация верна и для $x = a$. Значит, функция $f$ непрерывна в точке $a$. +\end{proof} + +\begin{theorem}[о непрерывности композиции] + Пусть $(X, \rho_{X})$, $(Y, \rho_{Y})$ и $(Z, \rho_{Z})$ -- метрические пространства. Если функция $f: X \to Y$ непрерывна в точке $a \in X$, и функция $g: Y \to Z$ непрерывна в точке $f(a) \in Y$, то их композиция $g \circ f: X \to Z$ непрерывна в точке $a$. +\end{theorem} + +\begin{proof} + Пусть $x_{n} \to a$, тогда $f(x_{n}) \to f(a)$ и, значит, $g(f(x_{n})) \to g(f(a))$. +\end{proof} + +\begin{corollary} + Если функции $f, g: X \to \R$ непрерывны в точке $a$, то в этой точке также непрерывны функции $f + g$, $fg: X \to \R$. +\end{corollary} + +\begin{definition} + Функция $f \: X \to Y$ \textit{непрерывна} (на $X$), если $f$ непрерывна в каждой точке $X$. +\end{definition} + +\begin{example} + \textit{Многочленом} называется функция $P: \R^{n} \to \R$, $P(x) = \sum_{(k_{1}, \ldots, k_{n})}a_{k_{1}\ldots k_{n}}x_{1}^{k_{1}}\ldots x_{n}^{k_{n}}$, где суммирование ведется по конечному множеству наборов $(k_{1}, \ldots, k_{n})$ целых неотрицательных чисел. Многочлен $P$ непрерывен как линейная комбинация непрерывных функций $p_{1}^{i_{1}}\ldots p_{n}^{i_{n}}$, где $p_{i}(x) = x_{i}$. +\end{example} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/18lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/18lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..8e7b6381 --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/18lecture.tex @@ -0,0 +1,124 @@ +%05.04.23 + +\begin{example} + Пусть $A \subset X$, $A \neq \emptyset$. Функция $d_{A}: X \to \R$, $d_{A}(x) = \underset{a \in A}{\inf} \rho_{X}(x, a)$ непрерывна (на $X$). +\end{example} + +\begin{proof} + Покажем, что $d_{A}$ непрерывна в точке $y \in X$. Для $x \in X$, $a \in A$ по неравенству треугольника имеем $\rho_{X}(y, a) \geq \rho_{X}(x, a) - \rho_{X}(x, y) \geq d_{A}(x) - \rho_{X}(x, y)$. Переходя к инфимуму по всем $a \in A$, получим $d_{A}(y) \geq d_{A}(x) - \rho_{X}(x, y)$ или $d_{A}(x) - d_{A}(y) \leq \rho_{X}(x, y)$. Неравенство симметрично относительно $x, y$, поэтому $|d_{A}(x) - d_{A}(y)| \leq \rho_{X}(x, y)$. +\end{proof} + +\begin{theorem}[критерий непрерывности] + Функция $f: X \to Y$ непрерывна $\lra$ для любого открытого $V \subset Y$ множество $f^{-1}(V)$ открыто в $X$. +\end{theorem} + +\begin{proof} + $(\Rightarrow)$ Пусть $V$ открыто в $Y$. Если $x \in f^{-1}(V)$, то $f(x) \in V$ и, значит, существует такое $\epsilon > 0$, что $B_{\epsilon}(f(x)) \subset V$. Функция $f$ непрерывна в точке $x$, поэтому найдется такое $\delta > 0$, что $f(B_{\delta}(x)) \subset B_{\epsilon}(f(x))$. Отсюда следует, что $B_{\delta}(x) \subset f^{-1}(V) \Rightarrow f^{-1}(V)$ открыто в $X$. + + $(\Leftarrow)$ Пусть $x \in X$, и $\epsilon > 0$. Шар $B_{\epsilon}(f(x))$ открыт в $Y$, поэтому множество $f^{-1}(B_{\epsilon}(f(x)))$ открыто в $X$ и, значит, существует $\delta > 0$, что $B_{\delta}(x) \subset f^{-1}(B_{\epsilon}(f(x)))$, или $f(B_{\delta}(x)) \subset B_{\epsilon}(f(x))$. Так как $\epsilon > 0$ -- любое, то $f$ непрерывна в точке $x$. +\end{proof} + +\begin{corollary} + Функция $f: X \to Y$ непрерывна на $X$ $\lra$ для каждого замкнутого множества $F \subset Y$ множество $f^{-1}(F)$ замкнуто в $X$. +\end{corollary} + +\begin{proof} + Следует из теоремы в силу равенства $X \setminus f^{-1}(F) = f^{-1}(Y \setminus F)$, верного для любого $F \subset Y$. +\end{proof} + +\begin{problem} + Приведите пример разрывной функции $f: X \to Y$, такой что $F(U)$ открыто для любого открытого $U \subset X$. +\end{problem} + +\subsection{Непрерывные функции на компактах} + +\begin{theorem} + Если функция $f: K \to Y$ непрерывна, и $K$ компакт, то $f(K)$ -- компакт в $Y$. +\end{theorem} + +\begin{proof} + Пусть $\{G_{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda}$ -- открытое покрытие $f(K)$. Если $x \in K$, то существует такое $\lambda_{0} \in \Lambda$, что $f(x) \in G_{\lambda_{0}}$ и, значит, $x \in f^{-1}(G_{\lambda_{0}})$. Следовательно, семейство $\{f^{-1}(G_{\lambda})\}_{\lambda \in \Lambda}$ образует открытое покрытие $K$. Это покрытие открыто по критерию непрерывности. Поскольку $K$ компакт, то $K \subset f^{-1}(G_{\lambda_{1}}) \cup \ldots \cup f^{-1}(G_{\lambda_{m}})$. + + Покажем, что $f(K) \subset G_{\lambda_{1}} \cup \ldots \cup G_{\lambda_{m}}$. Действительно, если $y \in f(K)$, то $y = f(x)$ для некоторого $x \in K$. Найдем такое $k$, что $x \in f^{-1}(G_{\lambda_{k}})$, тогда, в свою очередь, $y = f(x) \in G_{\lambda_{k}}$. Следовательно, $f(K)$ -- компакт. +\end{proof} + +\begin{corollary}[теорема Вейерштрасса] + \label{weierstrass-compacts} + Если функция $f: K \to \R$ непрерывна, и $K$ компакт, то существуют точки $x_{m}, x_{M} \in K$, такие что $f(x_{M}) = \underset{x \in K}{\sup}f(x)$ и $f(x_{m}) = \underset{x \in K}{\inf} f(x)$. +\end{corollary} + +\begin{proof} + $f(K)$ --- компакт в $\R$, следовательно, $f(K)$ замкнуто и ограничено. + + Так как $f(K)$ ограничено, то $M = \sup_K f(x) \in \R$. $M$ --- граничная точка $f(K)$, следовательно, $M \in f(K)$ и, значит, $\exists x_M \in K \ f(x) = M$. + + Доказательство для $\inf_K f$ аналогично. +\end{proof} + +\begin{definition} + Пусть $V$ -- линейное пространство, $\|\cdot\|$, $\|\cdot\|^{*}$ нормы на $V$. Нормы $\|\cdot\|$ и $\|\cdot\|^{*}$ называются \textit{эквивалентными}, если существуют такие $\alpha > 0$ и $\beta > 0$, что + \[\forall x \in V \ \left(\alpha\|x\| \leq \|x\|^{*} \leq \beta \|x\|\right).\] +\end{definition} + +\begin{corollary} + На конечномерном пространстве $V$ все нормы эквивалентны. +\end{corollary} + +\begin{proof} + Покажем сначала, что все нормы на $\R^n$ эквивалентны. Достаточно показать, что любая норма $\|\cdot\|$ эквивалентна евклидовой $\|\cdot\|_2$. + + Пусть $x = x_1 e_1 + \ldots + x_n e_n$ --- разложение по стандартному базису. Тогда по неравенствам треугольника и Коши-Буняковского-Шварца + \[ + \|x\| \le \sum_{i = 1}^n |x_i| \cdot \|e_i\| \le \left(\sum_{i = 1}^n \|e_i\|^2\right)^{\frac{1}{2}}\left(\sum_{i = 1}^n |x_i|^2\right)^{\frac{1}{2}} =: \beta \cdot \|x\|_2. + \] + + В частности, $\|\cdot\|$ непрерывна на $(\R, \|\cdot\|_2)$. Рассмотрим $S = \{x \in \R^n \ | \ \|x\|_2 = 1\}$ --- компакт в $\R^n$. Тогда по (\ref{weierstrass-compacts}) функция $\|\cdot\|$ достигает $\alpha > 0$ --- инфимума значений. + + Пусть $x \neq 0 \Rightarrow \left\|\frac{x}{\|x\|_2}\right\| \ge \alpha$ и, значит, $\|x\| \ge \alpha \|x\|_2$ (очевидно и для $x = 0$). Тогда $\|\cdot\|$ эквивалентны $\|\cdot\|_{2}$. + + $V$ --- конечномерное линейное пространство и $(v_i)_{i = 1}^n$ --- базис $V$, $x = \sum_{i = 1}^n x_i v_i$ --- разложение. Отображение $\phi(x) = (x_1, \ldots, x_n)^T$ задаёт изоморфизм между $V$ и $\R^n$. Пусть $\|\cdot\|_V$ и $\|\cdot\|^*_V$ --- нормы на $V$. + + Определим $\|y\| = \|\phi^{-1}(y)\|_V, \ \|y\|^* = \|\phi^{-1}(y)\|_V^*$ --- нормы на $\R^n$. Так как на $\R^{n}$ они эквивалентны, то $\|\cdot\|_V$ и $\|\cdot\|_V^*$ также эквивалентны. +\end{proof} + +\begin{definition} + Функция $f: X \to Y$ называется \textit{равномерно непрерывной} (на $X$), если + + \[\forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \forall x, x' \in X \ (\rho_{X}(x, x') < \delta \Rightarrow \rho_{Y}(f(x), f(x')) < \epsilon).\] +\end{definition} + +\begin{theorem}[Кантор] + Если функция $f: K \to Y$ непрерывна, и $K$ компакт, то $f$ равномерно непрерывна. +\end{theorem} + +\begin{proof} + Пусть $\epsilon > 0$. По определению непрерывности + \[ + \forall a \in K \ \exists \delta_a > 0 \ \forall x \in X \ \left(\rho_X(x, a) < \delta_a \Rightarrow \rho_Y(f(x), f(a)) < \frac{\epsilon}{2}\right), + \] + + Семейство $\{B_{\frac{\delta_a}{2}}\}_{a \in K}$ --- открытое покрытие $K$. Так как $K$ --- компакт, то $K \subset B_{\frac{\delta_{a_1}}{2}}(a_1) \cup \ldots \cup B_{\frac{\delta_{a_m}}{2}}(a_m)$. + + Положим $\delta = \min_{1 \le i \le m} \left\{\frac{\delta_{a_i}}{2}\right\}$. Покажем, что $\delta$ будет удовлетворять определению равномерной непрерывности для $\epsilon$. + + Пусть $\rho_K(x, x') < \delta_i$. Найдётся $i, 1 \le i \le m$, что $x \in B_{\frac{\delta_{a_i}}{2}}(a_i)$. Тогда + \[ + \rho_K(x', a_i) \le \rho_K(x', x) + \rho_K(x, a_i) < \frac{\delta_{a_i}}{2} + \frac{\delta_{a_i}}{2} = \delta_{a_i}, + \] + и, значит, $x, x' \in B_{\delta_{a_i}}(a_i)$. Поэтому + \[ + \rho_Y(f(x), f(x')) \le \rho_Y(f(x), f(a_i)) + \rho_Y(f(a_i), f(x')) < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon. + \] +\end{proof} + +\begin{definition} + Пусть $X, Y$ -- метрические пространства. Функция $f: X \to Y$ называется \textit{гомеоморфизмом}, если $f$ биекция и функции $f$ и $f^{-1}$ непрерывны. +\end{definition} + +\begin{theorem} + Если $f: K \to Y$ непрерывная биекция, и $K$ компакт, то $f$ -- гомеоморфизм. +\end{theorem} + +\begin{proof} + Покажем, что функция $f^{-1}: Y \to K$ непрерывна. Достаточно показать, что множество $(f^{-1})^{-1}(F)$ замкнуто для всякого замкнутого $F \subset K$. Это так, поскольку $(f^{-1})^{-1}(F) = f(F)$ -- компакт, как непрерывный образ компакта. +\end{proof} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/19lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/19lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..93f163b0 --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/19lecture.tex @@ -0,0 +1,133 @@ +%06.04.23 + +\subsection{Связные множества} + +\begin{definition} + Метрическое пространство $X$ называется \textit{несвязным}, если существуют непустые открытые $U, V \subset X$, что $X = U \cup V$ и $U \cap V = \emptyset$. + + Метрическое пространство $X$ называется \textit{связным}, если оно не является несвязным. + + Множество $E \subset X$ называется \textit{несвязным (связным)}, если оно несвязно (связно) как подпространство $X$. +\end{definition} + +\begin{example} + $\{x\}$ -- связное множество. +\end{example} + +\begin{note} + Согласно устройству открытых множеств подпространства получаем, что $E \subset X$ несвязно, если существуют открытые $U, V \subset X$, такие что $E \subset U \cup V$ и $E \cap U \neq \emptyset$, $E \cap V \neq \emptyset$, $U \cap V \cap E = \emptyset$. +\end{note} + +Покажем, что $U$ и $V$ можно всегда выбрать непересекающимися. + +\begin{lemma} + Множество $E \subset X$ несвязно $\lra$ существуют открытые $U, V \subset X$, такие что $E \subset U \cup V$ и $E \cap U \neq \emptyset$, $E \cap V \neq \emptyset$, $U \cap V = \emptyset$. +\end{lemma} + +\begin{proof} + Достаточность очевидна. Для доказательства необходимости предположим, что множество $E$ несвязно. Тогда существуют непустые открытые $U_{E}, V_{E} \subset E$, такие что $E = U_{E} \cup V_{E}$, $U_{E} \cap V_{E} = \emptyset$. + + Для каждого $x \in U_{E}$ найдется такое $\delta_{x} > 0$, что $B_{\delta_{x}}(x) \cap E \subset U_{E}$ и, значит, $B_{\delta_{x}}(x) \cap V_{E} = \emptyset$. Аналогично, для каждого $y \in V_{E}$ найдется такое $\delta_{y} > 0$, что $B_{\delta_{y}}(y) \cap E \subset V_{E}$ и $B_{\delta_{y}}(y) \cap U_{E} = \emptyset$. + + Положим $U = \underset{x \in U_{E}}{\bigcup} B_{\frac{\delta_{x}}{2}}(x), V = \underset{y \in V_{E}}{\bigcup} B_{\frac{\delta_{y}}{2}}(y)$. Если существует $z \in U \cap V$, то $z \in B_{\frac{\delta_{x}}{2}}(x)$ и $z \in B_{\frac{\delta_{y}}{2}}(y)$ для некоторых $x \in U_{E}$ и $y \in V_{E}$, тогда + + \[\rho(x, y) \leq \rho(x, z) + \rho(z, y) < \frac{\delta_{x} + \delta_{y}}{2} \leq max\{\delta_{x}, \delta_{y}\}.\] + + Если $max\{\delta_{x}, \delta_{y}\} = \delta_{x}$, то $y \in B_{\delta_{x}}(x)$; если же $max\{\delta_{x}, \delta_{y}\} = \delta_{y}$, то $x \in B_{\delta_{y}}(y)$. Обе эти ситуации невозможны. Следовательно, $U \cap V = \emptyset$. +\end{proof} + +\begin{problem} + \begin{enumerate} + \item Докажите, что если $E \subset X$ связно, то $\overline{E}$ также связно. + \item Докажите, что если $E_{i}$ связно для любого $i \in I$ и $\underset{i \in I}{\cap} E_{i} \neq \emptyset$, то $\underset{i \in I}{\cup} E_{i}$ также связно. + \end{enumerate} +\end{problem} + +\begin{theorem} + \label{th_coher_spac} + Множество $I \subset \R$ связно $\lra$ $I$ -- промежуток. +\end{theorem} + +\begin{proof} + $(\Rightarrow)$ Если $I$ не является промежутком, то существуют $x, y \in I$ и $z \in \R$, такие что $x < z < y$ и $z \not\in I$. Рассмотрим $(-\infty, z) \cap I$ и $(z, +\infty) \cap I$. Это непустые (содержат соответственно точки $x, y$), непересекающиеся, открытые в $I$ множества, объединение которых совпадает с $I$. Значит, множество $I$ несвязно. + + $(\Leftarrow)$ Предположим, что промежуток $I$ не является связным множеством. Тогда найдутся открытые (в $\R$) множества $U$ и $V$, такие что $I \subset U \cup V$, $I \cap U \neq \emptyset$, $I \cap V \neq \emptyset$ и $U \cap V \cap I \neq \emptyset$. Пусть $x \in I \cap U$ и $y \in I \cap V$. Без ограничения общности можно считать, что $x < y$ (тогда $[x,y] \subset I$). + + Положим $S = \{z \in [x, y]: z \in U\}$. Так как $S$ не пусто и ограничено, то существует $c = \sup S$. В силу замкнутости отрезка $c \in [x, y]$. Отрезок $[x, y] \subset I \subset U \cup V$, поэтому $c \in U$ или $c \in V$. + + Если $c \in U$, то $c \neq y$, и значит, найдется $\epsilon > 0$, что полуинтервал $[c, c+\epsilon)$ лежит одновременно в $U$ и $[x, y]$. Но тогда $[c, c + \epsilon) \subset S$, что противоречит $c = \sup S$. + + Если $c \in V$, то $c \neq x$, и значит, найдется $\epsilon > 0$, что полуинтервал $(c - \epsilon, c]$ лежит одновременно в $V$ и $[x, y]$. В частности, отрезок $[c - \frac{\epsilon}{2}, c]$ не пересекается с $S$, что противоречит $c = \sup S$. + + Значит, $I$ связно. +\end{proof} + +\begin{theorem} + \label{th_contin_coher} + Если функция $f: S \to Y$ непрерывна, и множество $S$ связно, то множество $f(S)$ связно в $Y$. +\end{theorem} + +\begin{proof} + Предположим, что $f(S)$ несвязно, тогда существют открытые в $Y$ множества $U$ и $V$, такие что $f(S) \subset U \cup V$, $f(S) \cap U \neq \emptyset$, $f(S) \cap V \neq \emptyset$ и $f(S) \cap U \cap V = \emptyset$. Множества $f^{-1}(U)$ и $f^{-1}(V)$ не пусты, не пересекаются, открыты в $S$ (по критерию непрерывности) и $S = f^{-1}(U) \cup f^{-1}(V)$ (так как $U, V$ образуют покрытие $f(S)$). Это противоречит связности $S$. +\end{proof} + +\begin{corollary}[Теорема о промежуточных значениях] + Если функция $f: S \to \R$ непрерывна, и множество $S$ связно, то $f$ принимает все промежуточные значения (то есть если $u, v \in f(S)$ и $u < v$, то $[u, v] \subset f(S)$). +\end{corollary} + +\begin{proof} + По теореме (\ref{th_contin_coher}) множество $f(S)$ связно в $\R$ и, значит, по теореме (\ref{th_coher_spac}) является промежутком. +\end{proof} + +\begin{definition} + Открытое связное множество в метрическом пространстве называется \textit{областью}. +\end{definition} + +\begin{example} + Выясним, является ли $E = \{(x, y, z) \in \R^{3}: e^{x^{2} + y^{2}} < 1 + z^{2}\}$ областью. +\end{example} + +\begin{solution} + Функция $f(x, y, z) = e^{x^{2} + y^{2}} - 1 - z^{2}$ непрерывна, поэтому множество $E = f^{-1}(-\infty, 0)$ открыто по критерию непрерывности. Однако $E$ не является связным, так как $E \subset U \cup V$, где $U = \{(x, y, z) \in \R^{3}: z > 0\}, V = \{(x, y, z) \in \R^{3}: z < 0\}$, причем $E$ пересекается и с $U$, и с $V$. +\end{solution} + +Выделим класс множеств, для которых проверка связности осуществляется несколько проще. + +\begin{definition} + Метрическое пространство $X$ называется \textit{линейно связным}, если для любых точек $x, y \in X$ существует такая непрерывная функция $\gamma: [0, 1] \to X$, что $\gamma(0) = x$, $\gamma(1) = y$. +\end{definition} + +\begin{theorem} + Всякое линейно связное метрическое пространство связно. +\end{theorem} + +\begin{proof} + Предположим, что линейно связное пространство $X$ несвязно. Тогда найдутся непустые открытые множества $U$ и $V$, такие что $X = U \cup V$ и $U \cap V = \emptyset$. Пусть $x \in U$ и $y \in V$. Так как $X$ линейно связно, то существует непрерывная функция $\gamma: [0, 1] \to X$, такая что $\gamma(0) = x$ и $\gamma(1) = y$. Тогда $\gamma^{-1}(U)$ и $\gamma^{-1}(V)$ не пусты, не пересекаются, открыты в $[0, 1]$, и $[0, 1] = \gamma^{-1}(U) \cup \gamma^{-1}(V)$, что невозможно, так как отрезок $[0, 1]$ связен. +\end{proof} + +\begin{example} + Шар $B_{r}(a)$ в нормированном пространстве $V$ -- линейно связное множество. +\end{example} + +\begin{proof} + Пусть $x, y \in B_{r}(a), x \neq y$. Рассмотрим точку $\gamma(t) = (1 - t)x + ty$, $t \in (0, 1)$. Поскольку + \[\|\gamma(t) - a\| = \|(1 - t)(x - a) + t(y - a)\| \leq (1 - t)\|x - a\| + t\|y - a\| < (1 - t)r + tr = r,\] + то эта точка лежит в $B_{r}(a)$. Осталось положить $\gamma: [0, 1] \to B_{r}(a)$, $\gamma(t) = (1 - t)x + ty$. +\end{proof} + +\begin{lemma} + Связное открытое множество $E$ в нормированном пространстве линейно связно. +\end{lemma} + +\begin{proof} + Пусть $x \in E$. Рассмотрим множество $U$ тех точек $y$, которые можно соединить с $x$ кривой, то есть существует непрерывная функция $\gamma: [0, 1] \to E$, что $\gamma(0) = x$, $\gamma(1) = y$. Покажем, что $U$ открыто. Для $y \in U$ в силу открытости $E$ найдется такое $\epsilon > 0$, что $B_{\epsilon}(y) \subset E$. Любая пара точек в шаре может быть соединена открезком: для $z \in B_{\epsilon}(y)$ рассмотрим $\sigma: [0, 1] \to B_{\epsilon}(y)$, $\sigma(t) = (1 - t)y + tz$. Тогда кривая + \[\gamma \circ \sigma(t) = \begin{cases} + \gamma(2t), \ 0 \leq t \leq \frac{1}{2}, \\ + \sigma(2t - 1), \ \frac{1}{2} \leq t \leq 1, + \end{cases}\] + соединяет $x$ и $z$, поэтому $B_{\epsilon}(y) \subset U$. Аналогично устанавливается, что $E \setminus U$ открыто. В силу связности $E \setminus U$ пусто, то есть $E = U$. +\end{proof} + +\begin{problem} + Докажите, что множество $A = \{(0, y): y \in [-1, 1]\} \cup \{(x, \sin(\frac{1}{x})): x \in (0, 1]\}$ связно, но не линейно связно в $\R^{2}$. +\end{problem} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/1lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/1lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..8bc092d1 --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/1lecture.tex @@ -0,0 +1,66 @@ +% 01.02.23 + +\section{Алгебра логики.} + +\begin{definition} + \textit{Высказывание} -- суждение, которое истинно или ложно. +\end{definition} + +\begin{example} + <<Вчера был вторник>>; <<3 > 5>> -- суждения. +\end{example} + +Будем здесь и далее обозначать за $1$ истину, а за $0$ -- ложь. + +\subsection{Логические связки.} + +\begin{definition} + Пусть $A, B$ -- высказывания. Тогда: + \begin{enumerate} + \item назовем высказывание <<$A$ и $B$>> \textit{конъюнкцией.} При этом пишут $$A \wedge B.$$ + + \item назовем высказывание <<$A$ или $B$>> \textit{дизъюнкцией.} При этом пишут $$A \vee B.$$ + + \item назовем высказывание <<либо $A$, либо $B$>> \textit{исключающим или.} При этом пишут $$A \oplus B.$$ + + \item назовем высказывание <<не $A$>> \textit{отрицанием.} При этом пишут $$\overline{A}.$$ + + \item назовем высказывание <<если $A$, то $B$>> \textit{импликацией.} При этом пишут $$A \rightarrow B.$$ + + \item назовем высказывание <<$A$ равносильно $B$>> \textit{эквивалентностью.} При этом пишут $$ A \equiv B.$$ + \end{enumerate} +\end{definition} + +Приоритет у этих операций такой: отрицание, конъюнкция, или (иключающее или), импликация, эквивалентность. + +\subsection{Булевы функции.} + +\begin{definition} + \textit{Булевой функцией} назовем функцию вида $f(x_1, x_2, \dots x_n).$ + Причем + $\forall i \ x_i = 0 \text{ или } 1.$ А также область значений у этой функции равна $\{ 0, 1 \}.$ +\end{definition} + +\begin{definition} + Переменная $x_i$ булевой функции $f(x_1, \dots, x_n)$ называется \textit{фиктивной,} если для любых значений $(x_1, x_2, \dots, x_{i - 1}, x_{i + 1}, \dots, x_n):$ + $$f(x_1, x_2, \dots, x_{i - 1}, 1, x_{i + 1}, \dots, x_n) = f(x_1, x_2, \dots, x_{i - 1}, 0, x_{i + 1}, \dots, x_n). $$ + Если же это не выполняется, то $x_i$ является \textit{существенной} переменной. +\end{definition} + +\begin{definition} + Булевы функции $f, g$ равны, если у них совпадают существенные переменные $x_1, \dots x_k$ и для любых наборах $(x_1, \dots, x_k):$ + $$f(x_1, \dots, x_k) = g(x_1, \dots, x_k)$$ +\end{definition} + +\begin{definition} + \textit{Тавтологией} называется булева функция, которая всегда равна $1.$ +\end{definition} + +\begin{definition} + Булевы функции $f, g$ равны, если булева функция $f \equiv g$ -- тавтология +\end{definition} + +Из определения $1.4$ можно вывести следующие тождества: +$$A \rightarrow B = \overline{A} \vee B$$ +$$\overline{A \wedge B} = \overline{A} \vee \overline{B}$$ +$$\overline{A \vee B} = \overline{A} \wedge \overline{B}$$ \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/20lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/20lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..dde2dd7a --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/20lecture.tex @@ -0,0 +1,110 @@ +%12.04.23 + +\subsection{Линейные отображения в евклидовых пространствах} + +\begin{definition} + Отображение $L$ называется \textit{линейным}, если $\forall x_{1}, x_{2} \in X$ и $\forall \alpha_{1}, \alpha_{2} \in \R$ выполнено $L(\alpha_{1}x_{1} + \alpha_{2}x_{2}) = \alpha_{1}L(x_{1}) + \alpha_{2}L(x_{2})$. +\end{definition} + +\begin{example} + Пусть $L: \R^{n} \to \R^{m}$ линейно, $L(x) = Ax$ с $A = (a_{ij})$. Так как $|L(x)|^{2} = \sum_{i = 1}^{m}(L_{i}, x)^{2}$, где $L_{i} = (a_{i1}, \ldots, a_{in})^{T}$, то по неравенству Коши-Буняковского-Шварца + \[|L(x)|^{2} \leq \sum_{i = 1}^{m}|L_{i}|^{2}|x|^{2} = |x|^{2}\sum_{i = 1}^{m}\sum_{j = 1}^{n} a_{ij}^{2},\] + так что $\|L\|\ \leq C$ для $C = \sqrt{\sum_{i = 1}^{m}\sum_{j = 1}^{n} a_{ij}^{2}}$. +\end{example} + +\begin{definition} + Для $L \in \mathcal{L}(X, Y)$ определим $\|L\| = \underset{x \neq 0}{\sup}\frac{\|L(x)\|}{\|x\|}$. +\end{definition} + +\begin{note} + $\|L\| \in \R$. По определению супремума $\|L(x)\| \leq \|L\|\|x\|$ для всех $x \in X$, и для всякого $\epsilon > 0$ найдется такое $x_{\epsilon} \in X$, что $\|L(x)\| > (\|L\| - \epsilon)\|x_{\epsilon}\|$. Это означает, что $\|L\|$ -- наименьшее из чисел $C > 0$, таких что $\|L(x)\| \leq C\|x\|$ для всех $x \in X$. + + Нетрудно проверить, что $(\mathcal{L}(X, Y), \|\cdot\|)$ является нормированным пространством, причем $\|L_{2}L_{1}\| \leq \|L_{2}\|\|L_{1}\|$. +\end{note} + +\section{Дифференциальное исчисление} + +\subsection{Дифференцируемость функции в точке} + +Пусть $U \subset \R^{n}$, $U$ -- открытое и задана функция $f: U \to \R^{n}$. + +\begin{definition} + Функция $f$ называется \textit{дифференцируемой} в точке $a$, если существует такое непрерывное линейное отображение $L_{a}: X \to Y$, что + \[f(a + h) = f(a) + L_{a}(h) + \alpha(h)\|h\|, \label{def_dif}\] + для некоторой функции $\alpha$, такой что $\alpha(h) \to 0$. +\end{definition} + +\begin{note} + Формула (\ref{def_dif}) не определяет значение $\alpha$ в нуле. В дальнейшем будем считать, что $\alpha(0) = 0$ и, значит, функция $\alpha$ непрерывна в нуле. + + Формулу (\ref{def_dif}) можно знаписать в виде + \[f(a + h) = f(a) + df_{a}(h) + o(\|h\|), \ h \to 0.\] + + Линейное отображение $L_{a}$ называется \textit{дифференциалом} $f$ в точке $a$ и обозначается $df_{a}$. +\end{note} + +\begin{note} + Если функция $f$ дифференцируема в точке $a$, то $f$ непрерывна в точке $a$. Действительно, $a$ -- внутренняя точка $U$, и по (\ref{def_dif}) $\lim_{h \to 0} f(a + h) = f(a) \lra \lim_{x \to a}f(x) = f(a)$. +\end{note} + +\begin{definition} + Пусть $v \in \R^{n}$ и функция $f$ определена на множестве $\{a + tv: |t| < \delta\}$ для некоторого $\delta > 0$. Предел + \[\lim_{t \to 0} \frac{f(a + tv) - f(a)}{t},\] + если этот предел существует, называется \textit{производной $f$ по вектору v} в точке $a$ и обозначается $\frac{\partial f}{\partial v}(a)$ (а также $f'_{v}(a)$ и $\partial_{v}f(a)$). +\end{definition} + +\begin{example} + $f: \R^{n} \to \R$, $f(x) = |x|$. Пусть $x, v \in \R^{n} \setminus \{0\}$. Тогда $\frac{\partial f}{\partial v}(x) = \frac{d}{dt}|_{t = 0}|x + tv| = \frac{d}{dt}|_{t = 0}\left(\sum_{i = 1}^{n}(x_{i} + tv_{i})^{2}\right)^\frac{1}{2} = \frac{1}{2|x|}\sum_{i = 1}^{n}2x_{i}v_{i} = \left(\frac{x}{|x|}, v\right)$. +\end{example} + +\begin{theorem} + Если $f: U \to \R^{n}$ дифференцируема в точке $a$, $v \in \R^{n}$, то существует $\frac{\partial f}{\partial v}(a) = df_{a}(v)$. +\end{theorem} + +\begin{proof} + Для $v = 0$ утверждение верно. Пусть $v \neq 0$. Выберем $\delta > 0$ так, что $B_{\delta}(a) \subset U$. Тогда для всех $t \in \R$ с $|t| < \frac{\delta}{|v|}$, получим + \[f(a + tv) = f(a) + df_{a}(tv) + \alpha(tv)\|tv\|.\] + В силу линейности $df_{a}(tv) = tdf_{a}(v)$. Далее, по непрерывности $\alpha$ в $0$ имеем $\alpha(tv) \to 0$ при $t \to 0$, поэтому + \[\frac{\partial f}{\partial v}(a) = \lim_{t \to 0}\frac{f(a + tv) - f(a)}{t} = \lim_{t \to 0}(df_{a}(v) \pm \alpha(tv)\|v\|) = df_{a}(v).\] +\end{proof} + +\begin{corollary} + Если функция $f$ дифференцируема в точке $a$, то ее дифференциал в точке $a$ определен однозначно. +\end{corollary} + +\begin{example} + Любое линейное отображение $L: \R^{n} \to \R^{m}$ дифференцируемо в каждой точке $a \in \R^{n}$ и $dL_{a} = L$. Это следует из равенства + \[L(a + h) = L(a) + L(h).\] +\end{example} + +Запишем определение дифференцируемости для конкретных случаев $X = \R^{n}$ и $Y = \R^{m}$. + +\textit{Случай функций из $\R$ в $\R^{m}$.} + +Дифференцируемость функции $\gamma : (\alpha, \beta) \to \R^{m}$ в точке $a \in (\alpha, \beta)$ определялась ранее как существование производной $\gamma'(a) = \lim_{t \to 0}\frac{\gamma(a + t) - \gamma(a)}{t}$. Это согласуется с определением дифференцируемости, поскольку наличие предела равносильно $\gamma(a + t) - \gamma(a) = t \gamma'(a) + t\sigma(t)$, где $\sigma(t) \to 0$ при $t \to 0$. Таким образом, $d\gamma_{a}(t) = t\gamma'(a)$. + +\textit{Случай функций из $\R^{n}$ в $\R$.} + +Пусть $U \subset R^{n}$ открыто, и функция $f: U \to \R$. Пусть $e_{1}, \ldots, e_{n}$ -- стандартный базис в $\R^{n}$. + +\begin{definition} + Производная по вектору $e_{k}$ в точке $a$, т.е. $\frac{\partial f}{\partial e_{k}}(a) = \lim_{t \to 0}\frac{f(a + t e_{k}) - f(a)}{t}$, называется \textit{частной производной} функции $f$ по переменной $x_{k}$ в точке $a$ и обозначается $\frac{\partial f}{\partial x_{k}}(a)$ (а также $f'_{x_{k}}(a)$ и $\partial_{k}f(a)$). +\end{definition} + +Из теоремы 1 получим необходимое условие дифференцируемости. + +\begin{corollary} + Если $f: U \to \R$ дифференцируема в точке $a$, то она имеет в этой точке частные производные $\frac{\partial f}{\partial x_{k}}(a)$, $k = 1, \ldots, n$, и $df_{a}(h) = \sum_{k = 1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{k}}(a)h_{k}$ для всех $h \in \R^{n}$. +\end{corollary} + +\begin{proof} + По теореме 1 существуют $\frac{\partial f}{\partial x_{k}}(a) = df_{a}(e_{k})$, следовательно, в силу линейности + \[df_{a}(h) = df_{a}\left(\sum_{k = 1}^{n}h_{k}e_{k}\right) = \sum_{k = 1}^{n}h_{k}df_{a}(e_{k}) = \sum_{k = 1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{k}}(a)h_{k}.\] +\end{proof} + +\begin{note} + Для координатной функции $p_{k}(x_{1}, \ldots, x_{n}) = x_{k}$ совпадает в любой точке с самой функцией. Обозначим его через $dx_{k}$, тогда $dx_{k}(h) = h_{k} \ \forall h \in \R^{n}$. Следовательно, имеем функциональную запись для дифференциала: + \[df_{a} = \sum_{k = 1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{k}}(a) d x_{k}.\] + + Функции $dx_{1}, \ldots, dx_{n}$ образуют базис в $(\R^{n})^{*}$, двойственный к стандартному $e_{1}, \ldots, e_{n}$. +\end{note} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/21lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/21lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..b3cf9101 --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/21lecture.tex @@ -0,0 +1,86 @@ +%13.04.23 + +\begin{note}[Геометрический смысл дифференцируемости ($n = 2$)] + + Пусть $f: U \to \R$, $U$ -- открыто в $\R^{2}$, $f$ -- дифференцируема в точке $(x_{0}, y_{0})$, то есть + \[f(x, y) = f(x_{0}, y_{0}) + \frac{\partial f}{\partial x}(x_{0}, y_{0})(x - x_{0}) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_{0}, y_{0})(y - y_{0}) + o(\rho),\] + где $\rho = \sqrt{(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2}}$. + + $G_{f} = \{(x, y, f(x, y)): (x, y) \in U\}$ -- график $f$. + + $\pi: z = f(x_{0}, y_{0}) + \frac{\partial f}{\partial x}(x_{0}, y_{0})(x - x_{0}) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_{0}, y_{0})(y - y_{0})$. + + $\overline{n}(\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0}, y_{0}), \frac{\partial f}{\partial y}(x_{0}, y_{0}), -1)$ -- вектор нормали. + + $\overline{a} (x - x_{0}, y - y_{0}, f(x, y) - f(x_{0}, y_{0}))$ -- непрерывный вектор в $MM_{0}$ + + $\cos(\phi) = \frac{(\overline{a}, \overline{n})}{|\overline{a}||\overline{n}|}$ + +\end{note} + +\begin{definition} + Вектор $(\frac{\partial f}{\partial x_{1}}(a), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_{n}}(a))^{T}$ называется \textit{градиентом} функции $f$ в точке $a$ и обозначается $grad f(a)$ или $\nabla f(a)$. +\end{definition} + +\begin{corollary} + Пусть $f$ дифференцируема в точке $a$, и $grad f(a) \neq 0$, то для любого $v \in \R^{n}$ с $|v| = 1$ выполнено + \[\left|\frac{\partial f}{\partial v}(a)\right| \leq |grad f(a)|,\] + причем равенство достигается лишь при $v = \pm \frac{grad f(a)}{|grad f(a)|}$. +\end{corollary} + +\begin{proof} + Так как $\frac{\partial f}{\partial v}(a) = df_{a}(v) = (grad f(a), v)$, то по неравенству Коши-Буняковского-Шварца $\left|\frac{\partial f}{\partial v}(a)\right| \leq |grad f(a)| \cdot |v| = |grad f(a)|$, причем равенство достигается лишь в случае коллинеарности $grad f(a)$ и $v$, то есть $v = \pm \frac{grad f(a)}{|grad f(a)|}$. +\end{proof} + +\begin{example} + Пусть $f: \R^{2} \to \R$, + \[f(x, y) = \begin{cases} + 1, \ y = x^{2}, \ x > 0 \\ + 0, \text{ иначе. } + \end{cases}\] + Тогда $\frac{\partial f}{\partial v}(0, 0) = 0$ для любого $v \in \R^{2}$, но функция $f$ разрывна в точке $(0, 0)$. + + Тем не менее, в терминах частных производных можно получить довольно простой признак дифференцируемости. +\end{example} + +\begin{theorem}[Достаточное условие дифференцируемости] + Пусть $f: U \subset \R^{n} \to \R$, точка $a \in U$. Если все частные производные $\frac{\partial f}{\partial x_{k}}$ определены в окрестности а и непрерывны в точке $a$, то $f$ дифференцируема в точке $a$. +\end{theorem} + +\begin{proof} + Пусть все $\frac{\partial f}{\partial x_{k}}$ определены в $B_{r}(a) \subset U$. Рассмотрим $h = (h_{1}, \ldots, h_{n})^{T}$ с $|h| < r$, и определим точки $x_{0} = a$, $x_{k} = a + \sum_{j = 1}^{k} h_{j}e_{j}$. Тогда приращение + \[f(a + h) - f(a) = \sum_{k = 1}^{n}(f(x_{k}) - f(x_{k - 1})) = \sum_{k = 1}^{n}(f(x_{k - 1} + h_{k}e_{k}) - f(x_{k - 1})).\] + + Функция $g(t) = f(x_{k - 1} + te_{k}) - f(x_{k - 1})$ на отрезке с концами $0$ и $h_{k}$ (при $h_{k} \neq 0$) имеет производную $g'(t) = \frac{\partial f}{\partial x_{k}}(x_{k - 1} + t_{e_{k}})$. По теореме Лагранжа о среднем $g(h_{k}) - g(0) = g'(\xi_{k})h_{k}$ для некоторого $\xi_{k}$ между $0$ и $h_{k}$. Положим $c_{k}(h) = x_{k - 1} + \xi_{k}e_{k}$, тогда последнее равенство перепишется в виде $f(x_{k}) - f(x_{k - 1}) = \frac{\partial f}{\partial x_{k}}(c_{k})h_{k}$, причем $c_{k} \to a$ при $h \to 0$. Поэтому + \[f(a + h) - f(a) - \sum_{k = 1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{k}}(a)h_{k} = \sum_{k = 1}^{n}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{k}}(c_{k}) - \frac{\partial f}{\partial x_{k}}(a)\right)h_{k} =\] + \[=\sum_{k = 1}^{n} \left(\frac{\partial f}{\partial x_{k}}(c_{k}) - \frac{\partial f}{\partial x_{k}}(a)\right)\frac{h_{k}}{|h|}|h| =: \alpha(h)|h|.\] + + В силу непрерывности $\frac{\partial f}{\partial x_{k}}$ в точке $a$ и неравенства $|h_{k}| \leq |h|$ функция $\alpha(h) \to 0$ при $h \to 0$. Следовательно, $f$ дифференцируема в точке $a$. +\end{proof} + +\textit{Случай функций из $\R^{n}$ в $\R^{m}$.} + +Пусть $U \subset \R^{n}$ открыто, и функция $f: U \to \R^{m}$, $f = (f_{1}, \ldots, f_{m})^{T}$. + +\begin{lemma} + \label{dif-lem1} + Функция $f$ дифференцируема в точке $a$ тогда и только тогда, когда все координатные функции $f_{i}$ дифференцируемы в точке $a$. +\end{lemma} + +\begin{proof} + Пусть $f$ дифференцируема в точке $a$. Распишем формулу (1) покоординатно: + \[f_{i}(a + h) = f_{i} + L_{i}(h) + \alpha_{i}(h)|h|.\] + Координатные функции $L_{i}$ дифференциала $L_{a}$ линейны, а условие "$\alpha(h) \to 0$ при $h \to \overline{0}$"\ равносильно "$\alpha_{i}(h) \to 0$ при $h \to 0$"\ , где $i = 1, \ldots, m$, поэтому функция $f_{i}$ дифференцируема в точке $a$ и ее дифференциал $d(f_{i})_{a} = L_{i}$. + + Обратно, если все функции $f_{i}$ дифференцируемы, то верна и формула (1) с $L_{a} = (L_{1}, \ldots, L_{m})^{T}$ и $\alpha = (\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{m})^{T}$. +\end{proof} + +Поскольку действие линейного отображения из $\R^{n}$ в $\R^{m}$ на вектор есть умножение этого вектора слева на матрицу, поэтому найдется такая матрица $Df_{a}$ размера $m \times n$, что $df_{a}(h) = D f_{a} \cdot h$ для всех $h \in \R^{n}$. + +\begin{definition} + Матрица $Df_{a}$ называется \textit{матрицей Якоби} функции $f$ в точке $a$. +\end{definition} + +\begin{note} + По лемме 1 следует, что $df(h) = (df_{1}(h), \ldots, df_{m}(h))^{T}$, поэтому $ij$-й элемент матрицы Якоби в точке $a$ равен значению $d(f_{i})_{a}(e_{j})$, то есть $\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}(a)$. Таким образом, строками матрицы Якоби являются градиенты ее координатных функций в этой точке. +\end{note} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/22lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/22lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..48fa4112 --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/22lecture.tex @@ -0,0 +1,137 @@ +%19.04.23 + +\subsection{Правила дифференцирования} + +\begin{property}[линейность] + Пусть $\underbrace{U}_{\text{откр.}} \subset \R^n$. + + Если $f, g : U \rightarrow \R^m$ дифференцируемы в точке $a$, $\lambda, \mu \in \R$, то $\lambda f + \mu g : U \rightarrow \R^m$ дифференцируема в точке $a$ и $d(\lambda f + \mu g)_a = \lambda df_a + \mu dg_a$. + + \begin{proof} + По определению + \begin{gather*} + f(a + h) = f(a) + df_a(h) + \alpha(h)|h|, h \rightarrow 0 \Rightarrow \alpha(h) \rightarrow 0, \\ + g(a + h) = g(a) + dg_a(h) + \beta(h)|h|, h \rightarrow 0 \Rightarrow \beta(h) \rightarrow 0, \\ + (f + g)(a + h) = (f + g)(a) + (df_a + dg_a)(h) + \underbrace{(\alpha(h) + \beta(h))}_{\rightarrow 0}|h|. + \end{gather*} + + Следовательно, $f + g$ дифференцируема в точке $a$ и $d(f + g)_a = df_a + dg_a$, $\lambda f$ дифференцируема в точке $a$ и $d(\lambda f)_a = \lambda df_a$. + \end{proof} +\end{property} + +\begin{theorem}[дифференцирование композиции] + Пусть $\underbrace{U}_{\text{откр.}} \subset \R^n, \underbrace{V}_{\text{откр.}} \subset \R^m$. + + Если $f : U \rightarrow \R^m$ дифференцируема в точке $a$, $g : V \rightarrow \R^k$ дифференцируема в точке $f(a)$, $f(U) \subset V$, то композиция $g \circ f : U \rightarrow \R^k$ дифференцируема в точке $a$ и + \[ + d(g \circ f)_a = dg_{f(a)} \circ df_a. + \] + + + \begin{proof} + Положим $b = f(a)$. По определению + \begin{gather*} + f(a + h) = f(a) + df_a(h) + \alpha(h)|h|, h \rightarrow 0 \Rightarrow \alpha(h) \rightarrow 0, \\ + g(b + u) = g(b) + dg_b(u) + \beta(u)|u|, u \rightarrow 0 \Rightarrow \beta(u) \rightarrow 0, \\ + \end{gather*} + + Подставим вместо $u$ во второе равенство выражение $\kappa(h) = df_a(h) + \alpha(h)|h|$. + \begin{gather*} + g(f(a + h)) = g(b + \kappa(h)) = g(b) + dg_b(df_a(h) + \alpha(h)|h|) + \beta(\kappa(h)) |\kappa(h)| =\\= g(b) + dg_b(df_a(h)) + dg_b(\alpha(h)) \cdot |h| + \beta(\kappa(h)) \cdot |\kappa(h)| =\\= g(b) + dg_b(df_a(h)) + \gamma(h)|h|, \gamma(h) = dg_b(\alpha(h)) + \beta(\kappa(h))\frac{|\kappa(h)|}{|h|}. + \end{gather*} + + По теореме о непрерывности композиции $dg_b(\alpha(h))$ и $\beta(\kappa(h))$ непрерывны при $h = 0$ со значением $0$. + + По определению нормы $\exists C \ge 0 \ \left(|df_a(h)| \le C|h|\right)$. + + Следовательно, $\frac{|\kappa(h)|}{|h|}$ ограничена в некоторой проколотой окрестности $h = 0$ и, значит, $\gamma(h)$ --- бесконечно малая при $h \rightarrow 0$ (как сумма двух бесконечно малых). + \end{proof} +\end{theorem} + +\begin{corollary} + Пусть $f, g : \underbrace{U}_{\text{откр. в $\R^n$}} \rightarrow \R$ дифференцируема в точке $a$. + + Тогда: + \begin{enumerate} + \item $f \cdot g : U \rightarrow \R$ дифференцируема в точке $a$ и + \[ + d(f \cdot g)_a = g(a)df_a + f(a)dg_a; + \] + \item При условии $f \neq 0$ на $U$: $\frac{1}{f} : U \rightarrow \R$ дифференцируема в точке $a$ и $d\left(\frac{1}{f}\right)_a = -\frac{1}{f^2(a)}df_a$. + \end{enumerate} + + \begin{proof} + $F = (f, g)^T$ дифференцируема в точке $a$ и $dF_a = (df_a, dg_a)^T$. + + $\phi : \R^2 \rightarrow \R, \phi(x, y) = xy$ дифференцируема в каждой точке из $\R^2$ и $d\phi = y dx + x dy$. Тогда $\phi \circ F$ дифференцируема в точке $a$ и $d(\phi \circ F)_a = d\phi_{F(a)} \circ dF_a$, то есть $d(f \cdot g)_a = g(a)df_a + f(a)dg_a$. + + Второй пункт доказывается аналогично. + \end{proof} +\end{corollary} + +\begin{equation*} + \begin{pmatrix} + \frac{\partial (g \circ f)}{\partial x_1}(a) & \ldots & \frac{\partial(g \circ f)}{\partial x_n}(a) + \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} + \frac{\partial g}{\partial y_1}(b) & \ldots & \frac{dg}{dy_m}(b) + \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} + \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(a) & \ldots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(a) \\ + \vdots & \ddots & \vdots \\ + \frac{\partial f_m}{\partial x_1}(a) & \ldots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}(a) +\end{pmatrix} +\end{equation*} + +Откуда $\frac{\partial (g \circ f)}{\partial x_j}(a) = \sum_{i = 1}^n \frac{\partial g}{\partial y_i}(b) \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a)$ и, следовательно, +\begin{gather*} + d(g \circ f)_a = \frac{\partial (g \circ f)}{\partial x_1}(a) dx_1 + \ldots + \frac{\partial(g \circ f)}{\partial x_n}(a) dx_n =\\= \sum_{i = 1}^n \frac{\partial g}{\partial y_i}(b) \left(\sum_{j = 1}^n \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a) dx_j\right) = \sum_{i = 1}^m \frac{\partial g}{\partial y_i}(b) dy_i, dy_i = d(f_i)_a. +\end{gather*} + +\begin{definition} + Пусть $\underbrace{U}_{\text{откр.}} \subset \R^n, f : U \rightarrow \R^m, f = (f_1, \ldots, f_m)^T$. + + Функция $f$ называется \emph{непрерывно дифференцируемой} на $U$, если все частные производные $\frac{\partial f_i}{\partial x_j}$ определены и непрерывны на $U$. + + Множество всех таких функций обозначают $C^1(U, \R^m)$. +\end{definition} + +\begin{lemma} + Функция $f$ непрерывно дифференцируема на $U$ тогда и только тогда, когда $f$ дифференцируема на $U$ и $df : U \rightarrow \mathcal{L}(\R^n, \R^m)$ непрерывен. + + \begin{proof} + Пусть $f$ дифференцируема в каждой точке из $U$. Тогда на $M_{n \times m}(\R)$ $\|A\| = \sup_{h \neq 0} \frac{|Ah|}{|h|}$. Так как $\forall x \in U \, \forall h \in \R^h \ df_x(h) = Df(x)h \Rightarrow \|df_x\| = \|Df(x)\|$. + + На $M_{m \times n}(\R) \|A\|_\infty = \max |a_{ij}|, \|\cdot\| \sim \|\cdot\|_\infty$. + + $\lim_{x \rightarrow a} \|df_x - df_a\| = 0 \Leftrightarrow \lim_{x \rightarrow a} \|Df_x - Df_a\|_\infty = 0 \Leftrightarrow \forall i, j \ \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) \rightarrow \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a) \text{ при } x \rightarrow a$. + \end{proof} +\end{lemma} + +\begin{corollary} + Если $f, g \in C^1(U, \ldots)$, то $\lambda f + \mu g \in C^1(U)$, $g \circ f \in C^1(U)$. + + (Аналогично для $f \cdot g$) +\end{corollary} + +\subsection{Частные производные и дифференциалы высших порядков} + +Пусть $\underbrace{U}_{\text{откр.}} \subset \R^n, f : U \rightarrow \R, k \in \N$. + +\begin{definition} + Частной производной нулевого порядка в точке $a$ называют $f(a)$. + + Если частная производная $\frac{\partial^{k - 1} f}{\partial x_{i_{k - 1}} \ldots \partial x_{i_1}}$ $k - 1$-го порядка определена в некоторой окрестности точки $a$ и меет в точке $a$ частную производную по $x_{i_k}$, то + \[ + \frac{\partial^k f}{\partial x_{i_k}\partial x_{i_{k - 1}} \ldots \partial x_{i_1}} \coloneqq \frac{\partial}{\partial x_{i_k}} \left.\left(\frac{\partial^{k - 1} f}{\partial x_{i_{k - 1}} \ldots \partial x_{i_1}}\right)\right|_{x = a} + \] + + называется \emph{частной производной $k$-го порядка функции $f$ в точке $a$}. +\end{definition} + + +\begin{theorem}[Юнг] +\label{jung_th} +Пусть $\underbrace{U}_{\text{откр.}} \subset \R^2, f : U \rightarrow \R$. Если частные производные $\frac{\partial f}{\partial x}$ и $\frac{\partial f}{\partial y}$ определены в некоторой окрестности точки $(a, b)$ и дифференцируемы в точке $(a, b)$, то +\[ + \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(a, b) = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(a, b). +\] +\end{theorem} diff --git a/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/23lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/23lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..2346f09d --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/23lecture.tex @@ -0,0 +1,63 @@ +%20.04.23 + +\begin{proof} + Выберем окрестность $B_{\delta}(a, b)$, в которой определены $\frac{\partial f}{\partial x}$ и $\frac{\partial f}{\partial y}$. Рассмотрим выражение + + \[\Delta(t) = f(a + t, b + t) - f(a + t, b) - f(a, b + t) + f(a, b), \ 0 < |t| < \delta.\] + + Функция $g(s) = f(a + s, b + t) - f(a + s, b)$ на отрезке с концами $0$ и $t$ имеет производную $g'(s) = \frac{\partial f}{\partial x}(a + s, b + t) - \frac{\partial f}{\partial x}(a + s, b)$. По теореме Лагранжа $g(t) - g(0) = g'(\xi)t$ для некоторого $\xi$ между $0$ и $t$. Тогда в силу равенства $\Delta(t) = g(t) - g(0)$ и дифференцируемости $\frac{\partial f}{\partial x}$ имеем + + \[\Delta(t) = g'(\xi)t = \frac{\partial f}{\partial x}(a + \xi, b + t)t - \frac{\partial f}{\partial x}(a + \xi, b)t =\] + \[= \left(\frac{\partial f}{\partial x}(a, b) + \frac{\partial^2 f}{\partial^2 x}(a, b)\xi + \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(a, b)t + \alpha(t)\sqrt{\xi^2 + t^2}\right)t - \left(\frac{\partial f}{\partial x}(a, b) + \frac{\partial^2 f}{\partial^2 x}(a, b)\xi + \beta(t)|\xi|\right)t =\] + \[= \left(\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(a, b) \pm \alpha(t)\sqrt{1 + \frac{\xi^2}{t^2}} \pm \beta(t) \frac{|\xi|}{|t|}\right)t^2,\] + где $\alpha(t) \to 0$, $\beta(t) \to 0$ при $t \to 0$. Следовательно, существует $\lim_{t \to 0}\frac{\Delta(t)}{t^2} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(a, b)$. + + Аналогично $\lim_{t \to 0}\frac{\Delta(t)}{t^2} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(a, b)$, что и доказывает теорему. +\end{proof} + +\begin{problem}[теорема Шварца] + Докажите, что если $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ и $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ определены в окрестности $(a, b)$ и непрерывны в точке $(a, b)$, то $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(a, b) = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(a, b)$. +\end{problem} + +Распространим теорему на случай $n$ переменных. + +\begin{corollary} + Пусть $k \in \N, k \geq 2$. Если все частные производные до порядка $k - 2$ дифференцируемы в некоторой окрестности точки $a$, а все частные производные порядка $k - 1$ дифференцируемы в точке $a$, то + + \[\frac{\partial^k f}{\partial x_{ik} \ldots \partial x_{i1}}(a) = \frac{\partial^k f}{\partial x_{jk} \ldots \partial x_{j1}}(a)\] + при условии, что списки $(i_{1}, \ldots, i_{k})$ и $(j_{1}, \ldots, j_{k})$ отличаются лишь порядком. +\end{corollary} + +\begin{proof} + Индукция по $k$. Пусть $k = 2$. Положим $x_{r} = a_{r}, r \neq i_{1},i_{2}$, тогда имеем функцию двух переменных $x_{i_{1}}$ и $x_{i_{2}}$, и равенство вытекает по теореме Юнга (\ref{jung_th}). + + Пусть $k > 2$. Можно считать, что список $(j_{1}, \ldots, j_{k})$ получен из $(i_{1}, \ldots, i_{k})$ с помощью одной транспозиции, то есть обменом $i_{r}$ и $i_{r - 1}$. + + Рассмотрим $g = \frac{\partial^{r - 2} f}{\partial x_{i_{r - 2}} \ldots \partial x_{i_{1}}}$. По теореме Юнга в окрестности точки $a$ имеет место равенство $\frac{\partial^2 g}{\partial x_{i_{r}} \partial x_{i_{r - 1}}} = \frac{\partial^2 g}{\partial x_{i_{r - 1}} \partial x_{i_{r}}}$. При $r = k$ имеем $\frac{\partial^2 g}{\partial x_{i_{r}} \partial x_{i_{r - 1}}}(a) = \frac{\partial^2 g}{\partial x_{i_{r - 1}} \partial x_{i_{r}}}(a)$, что лишь формой записи отличается от требуемого равенства; при $r < k$ еще надо продифференцировать по переменным $x_{i_{r + 1}}, \ldots, x_{i_{k}}$ и подставить $x = a$. +\end{proof} + +Дифференциалы высших порядков определяются индуктивно. + +Пусть $U \subset \R^{n}$ открыто. + +\begin{definition} + Положим $d^{1}f = df$. Пусть $k \in \N, k \geq 2$. Пусть $d^{k - 1}f$ определен в некоторой окрестности точки $a$ и дифференцируем в точке $a$, то $d^{k}f_{a} := d(d^{k - 1}f)_{a}$, понимаемый как $k$-линейное отображение, называется \textit{дифференциалом} $k$-го порядка функции $f$ в точке $a$. При этом функция $f$ называется $k$ \textit{раз дифференцируемой} в точке $a$. +\end{definition} + +\begin{lemma} + Дифференциал $d^{k}f$ симметричен, то есть на наборах $k$ векторов, отличающихся лишь порядком, принимает одинаковые значения. +\end{lemma} + +\begin{proof} + Достаточно установить совпадение на наборах векторов стандартного базиса и воспользуемся линейностью. + + Покажем по индукции, что $d^{k}f_{a}(e_{i_{1}}, \ldots, e_{i_{k}}) = \frac{\partial^k f}{\partial x_{i_{k}} \ldots \partial x_{i_{1}}}(a)$. При $k - 1$ это следует из теоремы $1$ и определения частной производной. Если равенство верно для $k - 1$, то $\frac{\partial^{k - 1} f}{\partial x_{i_{k - 1}} \ldots \partial x_{i_{1}}} = d^{k - 1}f(e_{i_{1}}, \ldots, e_{i_{k - 1}})$ дифференцируема в точке $a$. Следовательно, + + \[d^{k}f_{a}(e_{i_{1}, \ldots, e_{i_{k}}}) = d\left(\frac{\partial^{k - 1} f}{\partial x_{i_{k - 1}} \ldots \partial x_{i_{1}}}\right)_{a}(e_{i_{k}}) = \frac{\partial}{\partial x_{i_{k}}}\left(\frac{\partial^{k - 1} f}{\partial x_{i_{k - 1}} \ldots \partial x_{i_{1}}}\right)\vert_{x = a} = \frac{\partial^k f}{\partial x_{i_{k}} \ldots \partial x_{i_{1}}}(a).\] + + Симметричность $d^{k}f$ на наборах базисных векторов теперь вытекает из следствия теоремы Юнга (\ref{jung_th}). +\end{proof} + +Эта теорема позволяет наряду с $k$- линейным отображением $d^{k}f_{a}$ рассматривать соответствующую $k$- форму $h \mapsto d^{k} f_{a}(h, \ldots, h) =: d^{k} f_{a}(h^{k})$. При $m = 1$ форма $d^{k}f_{a}(h^{k})$ является однородным многочленом степени $k$ от компонент вектора $h$: + +\[d^{k}f_{a}(h^{k}) = \sum_{i_{k} = 1}^{n} \ldots \sum_{i_{1} = 1}^{n} \frac{\partial^k f}{\partial x_{i_{k}} \ldots \partial x_{i_{1}}}(a) h_{i_{1}} \ldots h_{i_{k}}, \ h = (h_{1}, \ldots, h_{n})^{T} \in \R^{n}.\] diff --git a/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/24lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/24lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..b3b5d3ea --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/24lecture.tex @@ -0,0 +1,139 @@ +%26.04.23 + +\begin{corollary} + Функция $f$ дифференцируема $k$ раз в точке $a$, тогда и только тогда, когда все частные производные до порядка $k - 2$ дифференцируемы в некоторой окрестности точки $a$, а все частные производные порядка $k - 1$ дифференцируемы в точке $a$. +\end{corollary} + +\begin{theorem}[формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа] + \label{taylor-lagrange} + Пусть $f: \underbrace{U}_{\text{откр.}} \to \R$ дифференцируема $(p + 1)$ раз на $U$. Если $a \in U$, $h \in \R^{n}$, такие что $[a, a+h] \subset U$, то $\exists \Theta \in (0, 1)$, что + + \[f(a + h) = f(a) + \sum_{k = 1}^{p}\frac{1}{k!}d^{k}f_{a}(h) + \frac{1}{(p+1)!}d^{p+1}f_{a + \Theta h}(h).\] +\end{theorem} + +\begin{proof} + $[a, a + h] = \{a + th \ | \ t \in [0, 1]\}$ --- отрезок с концами $a$ и $a + h$. + + Рассмотрим функцию $g(t) = f(a + th)$, определённую на интервале, содержащем $[0, 1]$. Так как $t \mapsto \underbrace{a}_{\text{пост.}} + \underbrace{th}_{\text{линейн.}} \Rightarrow \forall \tau \in \R \ d(a + th)_t(\tau) = \tau h$. Тогда по теореме о дифференцировании композиции + \[ + dg_t(\tau) = df_{a + th}(\tau h). + \] + По индукции + \[ + d^kg_t(\tau) = d^kf_{a + th}(\tau h) \quad k = 1, \ldots, p + 1. + \] + Имеем $d^kg_t(\tau) = g^{(k)}(t)\tau^k \overset{\tau = 1}{\Rightarrow} g^{(k)}(t) = d^k f_{a + th}(h), \quad k = 1, \ldots, p + 1$. + + По формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа + \[ + g(t) = g(0) + \sum_{k = 1}^p \frac{g^{(k)}(0)}{k!}t^k + \frac{g^{(p + 1)}(\theta_t)}{(p + 1)!}t^{p + 1}. + \] + При $t = 1$ и $\theta = \theta_1$ получаем искомую формулу. +\end{proof} + +\begin{lemma} + \label{peano_lem} + Пусть $\phi: \R^{n}\times \ldots \times \R^{n} \to \R$ -- $k$-линейное симметрическое отображение, и $\Phi: \R^{n} \to \R$, $\Phi(x) = \phi(x, \ldots, x)$. Тогда функция $\Phi$ дифференцируема и $d\Phi_{x}(h) = k\phi(x^{k - 1}, h)$. +\end{lemma} + +\begin{proof} + Имеем $\Phi(x + h) - \Phi(x) = \phi(x + h, \ldots, x + h) - \phi(x, \ldots, x) = k\phi(x, \ldots, x, h) + $ слагаемые $\phi(x^{p}, h^{q})$, где $p + q = k$, $q \geq 2$. + + Покажем, что найдется такое $C \geq 0$, что $|\phi(x^{p}, h^{q})| \leq C|x|^{p}|h|^{q}$. Если оба $x$, $h$ ненулевые, то $|\phi(x^{p}, h^{q})| = \left|\phi\left((\frac{x}{|x|})^{p}, (\frac{h}{|h|})^{q}\right)\right||x|^{p}|h|^{q} \leq C|x|^{p}|h|^{q}$ для $C = \max_{|x| = 1}|\phi(x^{k})|$. Оценка очевидно выполняется, когда хотя бы один из векторов нулевой. + + Так как $q \geq 2$, то из полученной оценки следует, что $\phi(x^{p}, h^{q}) = o(|h|)$ при $h \to 0$, что доказывает утверждение. +\end{proof} + +\begin{theorem}[остаточный член в форме Пеано]~ + Если функция $f: \underbrace{U}_{\text{откр.}} \to \R$ дифференцируема $p$ раз в точке $a$, то + + \[f(a + x) = f(a) + \sum_{k = 1}^{p}\frac{1}{k!}d^{k}f_{a}(h) + o(|h|^{p}), \ h \to 0.\] +\end{theorem} + +\begin{proof} + Индукция по $p$. При $p = 1$ равенство верно по определению дифференцируемости. Предположим, утверждение верно при $p - 1$. + + Рассмотрим функцию $g(x) = f(a + x) - f(a) - df_{a}(x) - \ldots - \frac{1}{p!}d^{p}f_{a}(x)$. Зафиксируем $v \in \R^{n}$. Тогда по лемме \ref{peano_lem} имеем + \[d(d^{k}f_{a}(x))(v) = kd^{k}f_{a}(x)(v)\] + и, значит, + \[d g_{x}(v) = df_{a + x}(v) - df_{a}(v) - \ldots - \frac{1}{(p - 1)!}d^{p}f_{a}(x, \ldots, x, v).\] + + Применим предположение индукции к $y \mapsto df_{y}(v)$: + \[df_{a + x}(v) = df_{a}(v) + d^{2}f_{a}(x, v) + \ldots + \frac{1}{(p - 1)!}d^{p}f_{a}(x, \ldots, x, v) + o(|x|^{p - 1}).\] + Заключаем, что $|dg_{x}(v)| = o(|x|^{p - 1})$ при $x \to 0$. + + Зафиксируем $\epsilon > 0$. Найдем такое $\delta > 0$, что $\|dg_{h}\| \leq \epsilon|h|^{p - 1}$ при всех $h \in \R$ с $|h| < \delta$. В шаре $B_{\delta}(0)$ применим теорему \ref{taylor-lagrange} (для $p = 1$), получим + \[|g(h)| = |g(h) - g(o)| \leq \epsilon|h|^{p - 1}|h|,\] + то есть $g(h) = o(|h|^{p})$, $h \to 0$. +\end{proof} + +\begin{definition} + Будем говорить, что $f$ $k$ раз непрерывно дифференцируема на $U$ и писать $f \in C^{k}(U)$, если $d^{k - 1}f_{x} \in C^{1}(U)$. +\end{definition} + +\begin{note} + Пусть $\phi: \R^{n} \times \ldots \times \R^{n} \to \R$ -- $k$-линейное отображение. Тогда $\|\phi\|=\underset{|v_{1}| = 1, \ldots, |v_{k}| = 1}{\max}|\phi(v_{1}, \ldots, v_{k})|$ -- норма на пространстве $k$-линейных отображений. Тогда из леммы \ref{dif-lem1} $f \in C^{k}(U) \lra $ все частные производные до $k$-го порядка непрерывны на $U$. +\end{note} + +\section{Мера Лебега} + +\subsection{Объем бруса} + +\begin{definition} + \textit{Брусом} в $\R^{n}$ называется множество вида $B = I_{1} \times \ldots \times I_{n}$, где $I_{k}$ -- ограниченный промежуток. Если $a_{k} \leq b_{k}$ -- концы $I_{k}$, то $|B| = (b_{1} - a_{1})\cdot \ldots \cdot(b_{n} - a_{n})$ называется \textit{объемом} бруса $B$. + + Если хотя бы один из промежутков $I_k$ вырожденный, то брус $B$ называется \emph{вырожденным}, в частности, $\emptyset$ --- вырожденный брус. Объём вырожденного бруса равен 0. + + Если все $I_{k}$ -- отрезки, то брус называется \textit{замкнутым}. + + Если все $I_{k}$ -- интервалы, то брус называется \textit{открытым}. + +\end{definition} + +\begin{problem} + Докажите, что пересечение двух брусов --- брус, а разность двух брусов --- объединение не более чем $2n$ брусов. +\end{problem} + +\begin{property} + \label{brus-prop1} + Если $B, B_1, \ldots, B_m$ --- брусы и $B \subset \bigcup_{i = 1}^m B_i$, то $|B| \le \sum_{i = 1}^m |B_i|$. + + \begin{proof} + Если $I \subset \R$ --- ограниченный промежуток, то + \begin{gather*} + |I| - 1 \le \#(I \cap \Z) \le |I| + 1,\\ + N|I| - 1 \le \#(NI \cap \Z) \le N|I| + 1,\\ + |I| - \frac{1}{N} \le \frac{1}{N}\#\left(I \cap \frac{1}{N}\Z\right) \le |I| + \frac{1}{N},\\ + |I| = \lim_{N \rightarrow \infty} \frac{1}{N}\#\left(I \cap \frac{1}{N}\Z\right). + \end{gather*} + + Пусть $B = I_1 \times \ldots \times I_n$, тогда + \[ + |B| = \lim_{N \rightarrow \infty} \bigsqcap_{j = 1}^n \frac{1}{N} \#\left(I_j \cap \frac{1}{N}\Z\right) = \lim_{N \rightarrow \infty} \frac{1}{N^n} \#\left(B \cap \frac{1}{N}\Z^n\right). + \] + + Если $B \subset \bigcup_{i = 1}^m B_i$, то + \[ + \frac{1}{N^n} \#\left(B \cap \frac{1}{N}\Z^n\right) \le \frac{1}{N^n} \sum_{i = 1}^n \#\left(B_{i} \cap \frac{1}{N}\Z^n\right). + \] + + Предельный переход $N \rightarrow \infty$ завершает доказательство. + \end{proof} +\end{property} + +\begin{property} + \label{brus-prop2} + Для любого бруса $B$ и $\epsilon > 0$ найдутся замкнутый брус $B'$ и открытый брус $B^o$, так что $B' \subset B \subset B^o$ и $|B'| > |B| - \epsilon$, $|B^o| < |B| + \epsilon$. + + \begin{proof} + Пусть $B = I_1 \times \ldots \times I_n$, где $I_k$ --- ограниченный промежуток с концами $a_k \le b_k$. + + Если $|B| > 0$, то положим + \begin{gather*} + B'_\delta = [a_1 + \delta, b_1 - \delta] \times \ldots \times [a_n + \delta, b_n - \delta]\\ + B_\delta^o = (a_1 - \delta, b_1 + \delta) \times \ldots \times (a_n - \delta, b_n + \delta) + \end{gather*} + + Так как $|B_{\delta}'|$, $|B_{\delta}^{o}| \to |B|$ при $\delta \to +0$, то искомые брусы существуют и определяются выбором $\delta$. Если же $B$ -- вырожденный брус, то положим $B' = \emptyset$, $B_{\delta}^{o}$ как выше. + \end{proof} +\end{property} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/25lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/25lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..5472b4a0 --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/25lecture.tex @@ -0,0 +1,102 @@ +%27.04.23 + +\begin{lemma} + \label{lebeg-lem1} + Каждое непустое открытое множество $U$ в $\R^{n}$ представимо в виде счетного объединения непересекающихся кубов (брусов, у которых длины ребер равны). +\end{lemma} + +\begin{proof} + Куб $\left[\frac{k_{1}}{2^{m}};\frac{k_{1} + 1}{2^{m}}\right) \times \ldots \times \left[\frac{k_{n}}{2^{m}};\frac{k_{n} + 1}{2^{m}}\right)$, где $k_{i} \in \Z$, $m \geq 0$, будем называть двоичным $m$-го ранга. + + Обозначим через $A_{0}$ множество всех кубов ранга 0, содержащихся в $U$. Если множества $A_{0}, \ldots, A_{m - 1}$ уже определены, то обозначим через $A_{m}$ множество всех кубов ранга $m$, содержащихся в $U$ и не лежащих ни в одном кубе из $A_{0}, \ldots, A_{m - 1}$. Положим $A = \bigcup_{m = 0}^{\infty}A_{m}$. Тогда $A$ -- счетное множество непересекающихся кубов. Покажем, что $U = \bigcup_{Q \in A}Q$. Пусть $x \in U$. Ввиду открытости $U$ существует шар $\overline{B_{r}}(x) \subset U$. Если $m$ таково, что $\frac{\sqrt{n}}{2^{m}} \leq r$, то содержащий точку $x$ куб $Q_{m}(x)$ ранга $m$ удовлетворяет включению $Q_{m}(x) \subset \overline{B_{r}}(x)$ и, значит, множество $\{m \in \N_{0}: Q_{m}(x) \subset U\}$ непусто. Обозначим через $m_{0}$ его минимум. Тогда $Q_{m}(x) \not\subset U$ при $m < m_{0}$, а $Q_{m_{0}}(x) \subset U$. Следовательно, $Q_{m_{0}}(x) \in A_{m_{0}}$ и поэтому $x \in \bigcup_{Q \in A}Q$. Учитывая, что обратное включение очевидно, равенство установлено. +\end{proof} + +\subsection{Алгебры множеств} + +\begin{definition} + Семейство $\mathcal{A} \subset \mathcal{P}(\R^{n})$ называется \textit{алгеброй}, если + + \begin{enumerate} + \item $\emptyset \in \mathcal{A}$; + \item если $E \in \mathcal{A}$, то $E^{c} = \R^{n} \setminus E \in \mathcal{A}$; + \item если $E, F \in \mathcal{A}$, то $E \cup F \in \mathcal{A}$. + \end{enumerate} + + Алгебра $\mathcal{A}$ называется \textit{$\sigma$-алгеброй}, если выполнено условие + + \begin{enumerate} + \item[3'.] если $E_{k} \in \mathcal{A}$, $k \in \N$, то $\bigcup_{k = 1}^{\infty}E_{k} \in \mathcal{A}$. + \end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{example}~ + + \begin{enumerate} + \item $\sigma$-алгебра, содержащая все одноэлементные множества, также содержит все не более чем счетные множества и множества, дополнение к которым не более чем счетно. + \item $\mathcal{B}(\R^{n})$ -- минимальная по включению $\sigma$-алгебра, содержащая все открытые множества (\textit{борелевская} $\sigma$-\textit{алгебра}). Чтобы установить существование $\mathcal{B}(\R^{n})$, необходимо рассмотреть пересечение всех $\sigma$-алгебр, содержащие открытые множества. + \end{enumerate} +\end{example} + +\begin{example} + Покажем, что минимальная $\sigma$-алгебра, содержащая двоичные кубы, совпадает с $\mathcal{B}(\R^{n})$. + + Пусть $O$ -- совокупность открытых множеств в $\R^{n}$. $\mathcal{B}(\R^{n}) = \underbrace{\sigma(O)}_{\underset{\text{содержащая 0}}{\text{мин. $\sigma$-алгебра,}}} \subset \sigma(\text{двоич. кубы})$. + + \[\left[\frac{k_{1}}{2^{m}};\frac{k_{1} + 1}{2^{m}}\right) \times \ldots \times \left[\frac{k_{n}}{2^{m}};\frac{k_{n} + 1}{2^{m}}\right) = \bigcap_{i = 1}^{\infty} \left(\frac{k_{1}}{2^{m}} - \frac{1}{i}; \frac{k_{1} + 1}{2^{m}}\right)\times \ldots \times \left(\frac{k_{n}}{2^{m}} - \frac{1}{i}; \frac{k_{n} + 1}{2^{m}}\right) \Rightarrow\] + \[\Rightarrow \sigma(\text{двоич. кубы}) \subset \sigma(O).\] +\end{example} + +\begin{problem} + $\mathcal{B}(\R) = \sigma(C)$, где $C = \{(a, +\infty), a \in \Q\}$. +\end{problem} + +Цель: построить $\sigma$-алгебру $M \supset \mathcal{B}(\R^{n})$ и меру $\mu: M \to [0, +\infty]$, такие что +\begin{enumerate} + \item $E = \bigsqcup_{k = 1}^{+\infty}E_{k}$, где $E_{k} \in M$, то $\mu(E) = \sum_{k = 1}^{+\infty}\mu(E_{k})$ (счетная аддитивность); + \item $\mu(R) = |R| \ \forall R$ -- брус; + \item $\mu(E + y) = \mu(E)$. +\end{enumerate} + +\subsection{Внешняя мера} + +\begin{definition} + \textit{Внешней мерой Лебега} множества $E \subset \R^{n}$ называется величина + \[\mu^{*}(E) = \inf\left\{\sum_{i = 1}^{\infty}|B_{i}|: E \subset \bigcup_{i = 1}^{\infty}B_{i}\right\},\] + где инфимум берется по всем счетным наборам $\{B_{i}\}$, покрывающих $E$. + + Очевидно, $0 \leq \mu^{*}(E) \leq +\infty$. +\end{definition} + +\begin{theorem} + Внешняя мера обладает следующими свойствами + \begin{enumerate} + \item если $E \subset F$, то $\mu^{*}(E) \leq \mu^{*}(F)$ (монотонность); + \item если $E = \bigcup_{k = 1}^{\infty} E_{k}$, то $\mu^{*}(E) \leq \sum_{k = 1}^{\infty}\mu^{*}(E_{k})$ (счетная полуаддитивность); + \item $\mu^{*}(R) = |R|$ для любого бруса $R$ (нормировка). + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof} + Докажем пункт 2. Будем предполагать, что $\mu^{*}(E) < +\infty$, иначе утверждение очевидно. Зафиксируем $\epsilon > 0$ и рассмотрим семейство брусов $\{B_{i, k}\}_{i = 1}^{\infty}$, образующее покрытие $E_{k}$, такие что + \[\sum_{i = 1}^{\infty}|B_{i, k}| < \mu^{*}(E_{k}) + \frac{\epsilon}{2^{k}}.\] + + Семейство $\{B_{i, k}\}_{i, k = 1}^{\infty}$ образуют покрытие $E = \bigcup_{k = 1}^{\infty}E_{k}$ и + \[\mu^{*}(E) \leq \sum_{k = 1}^{+\infty}\sum_{i = 1}^{+\infty}|B_{i, k}| \leq \sum_{k = 1}^{+\infty}\left(\mu^{*}(E_{k}) + \frac{\epsilon}{2^{k}}\right) = \sum_{k = 1}^{+\infty} \mu^{*}(E_{k}) + \epsilon.\] + Так как $\epsilon > 0$ -- любое, то пункт 2 установлен. + + Докажем пункт 3. Так как $\{R\}$ -- покрытие $R$ брусом, то $\mu^{*}(R) \leq |R|$. Покажем, что $\mu^{*}(R) \geq |R|$. + + Сначала для случая, когда $R$ -- замкнуто. Нам достаточно показать, что $|R| \leq \sum_{i = 1}^{\infty}|B_{i}|$ для всякого покрытия $R$ брусами $B_{i}$. Зафиксируем $\epsilon > 0$. Тогда по свойству брусов (\ref{brus-prop2}) $\exists \underbrace{B_{i}^{o}}_{\text{отк. брус}} \supset B_{i}$ и $|B_{i}^{o}| < |B_{i}| + \frac{\epsilon}{2^{i}}$. Так как $R \subset \bigcup_{i = 1}^{\infty}$ и $R$ -- компакт, то по свойству брусов (\ref{brus-prop1}) + \[R \subset \bigcup_{i = 1}^{N}B_{i}^{o} \Rightarrow |R| \leq \sum_{i = 1}^{N}|B_{i}^{o}| \Rightarrow |R| \leq \sum_{i = 1}^{\infty}\left(|B_{i}| + \frac{\epsilon}{2^{i}}\right) = \sum_{i = 1}^{\infty}|B_{i}| + \epsilon.\] + Так как $\epsilon > 0$ -- любое, то $|R| \leq \sum_{i = 1}^{\infty}|B_{i}|$. + + Пусть $R$ -- произвольный брус. Тогда для $\epsilon > 0$ по свойству (\ref{brus-prop2}) $\exists \underbrace{R'}_{\text{замк. брус}} \subset R \ (|R'| > |R| - \epsilon)$. Тогда + \[\mu^{*}(R) \geq \mu^{*}(R') = |R'| > |R| - \epsilon.\] + Так как $\epsilon > 0$ -- любое, то $\mu^{*}(R) \geq |R|$. +\end{proof} + +\subsection{Измеримые множества} + +\begin{definition} + Множество $E \subset \R^{n}$ называется \textit{измеримым (по Лебегу)}, если для любого $A \subset \R^{n}: \mu^{*}(A) = \mu^{*}(A \cap E) + \mu^{*}(A \cap E^{c})$. +\end{definition} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/26lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/26lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..af8edbd4 --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/26lecture.tex @@ -0,0 +1,120 @@ +%29.04.23 + +\begin{note} + При проверке измеримости достаточно установить, что $\mu^{*}(A) \geq \mu^{*}(A \cap E) + \mu^{*}(A \cap E^{c})$, так как противоположное неравенство следует из счетной аддитивности. +\end{note} + +\begin{example} + Если $\mu^{*}(E) = 0$, то $E$ измеримо. + + Действительно, $\mu^{*}(A \cap E) \leq \mu^{*}(E) = 0$, $\mu^{*}(A \cap E) \leq \mu^{*}(A)$ из монотонности $\mu^{*}$. Тогда $\mu^{*}(A) \geq \mu^{*}(A \cap E) + \mu^{*}(A \cap E^{c})$. +\end{example} + +\begin{example} + \label{lebeg-ex2} + Для всякого $a \in \R$ и $k \in \{1, \ldots, n\}$ полупространство $H = H_{a, k} = \{x = (x_{1}, \ldots, x_{n})^{T}: x_{k} < a\}$ измеримо. + + Рассмотрим $A \subset \R^{n}$ и произвольное покрытие $\{B_{i}\}_{i = 1}^{\infty}$. Брусами определим + \[B_{i}^{1} = B_{i} \cap H, \ B_{i}^{2} = B_{i} \cap H^{c}.\] + Тогда $B_{i}^{1}, B_{i}^{2}$ -- брусы. $\{B_{i}^{1} \cap H\}_{i = 1}^{\infty}$ -- покрытие $A \cap H$. $\{B_{i}^{2} \cap H^{c}\}_{i = 1}^{\infty}$ -- покрытие $A \cap H^{c}$. + + \[\sum_{i = 1}^{\infty}|B_{i}| = \sum_{i = 1}^{\infty}|B_{i}^{1}| + \sum_{i = 1}^{\infty}|B_{i}^{2}| \geq \mu^{*}(A \cap H) + \mu^{*}(A \cap H^{c}).\] + + Следовательно, $\mu^{*}(A) \geq \mu^{*}(A \cap H) + \mu^{*}(A \cap H^{c})$. + + Аналогичное утверждение верно и для других неравенств между $x_{k}$ и $a$. +\end{example} + +\begin{theorem}[Каратеодори] + Совокупность $\mathcal{M}$ всех измеримых множеств в $\R^{n}$ образует $\sigma$-алгебру. Сужение $\mu^{*}\lvert_{\mathcal{M}}$ счетно аддитивно. +\end{theorem} + +\begin{proof} + $\emptyset \in \mathcal{M}$, $E \in \mathcal{M} \Rightarrow E^{c} \in \mathcal{M}$. + + \begin{enumerate} + \item Пусть $E, F \in \mathcal{M}$. Покажем, что $E \cup F \in \mathcal{M}$. + + Пусть $A \subset \R^{n}$, тогда + \[\mu^{*}(A \cap (E \cup F)) + \mu^{*}(A \cap (E \cup F)^{c}) = \mu^{*}(A \cap (E \cup F) \cap E) + \mu^{*}(A \cap (E \cup F) \cap E^{c}) + \mu^{*}(A \cap (E \cup F)^{c}) =\] \[= \mu^{*}(A \cap E) + \mu^{*}(A \cap E^{c} \cap F) + \mu^{*}(A \cap E^{c} \cap F^{c}) = \mu^{*}(A \cap E) + \mu^{*}(A \cap E^{c}) = \mu^{*}(A).\] + + \item Пусть $\{E_{k}\} \subset \mathcal{M}$, причем $E_{i} \cap E_{j} = \emptyset$ при $i \neq j$. Покажем, что $F = \bigcup_{k = 1}^{\infty} E_{k} \in \mathcal{M}$. + + Положим $F_{n} = \bigcup_{k = 1}^{n}E_{k}$. Если $A \subset X$, то + \[\mu^{*}(A \cap F_{n}) = \mu^{*}(A \cap F_{n} \cap E_{n}) + \mu^{*}(A \cap F_{n} \cap E_{n}^{c}) = \mu^{*}(A \cap E_{n}) + \mu^{*}(A \cap F_{n - 1}).\] + Продолжая процесс, получим $\mu^{*}(A \cap F_{n}) = \sum_{k = 1}^{n}\mu^{*}(A \cap E_{k})$. + + Поскольку $F_{n} \in \mathcal{M}$, то + \[\mu^{*}(A) = \mu^{*}(A \cap F_{n}) + \mu^{*}(A \cap F_{n}^{c}) \geq \sum_{k = 1}^{n} \mu^{*}(A \cap E_{k}) + \mu^{*}(A \cap F^{c}).\] + Переходя к пределу при $n \to \infty$, получим $\mu^{*}(A) \geq \sum_{k = 1}^{\infty}\mu^{*}(A \cap E_{k}) + \mu^{*}(A \cap F^{c})$. Откуда по свойству счетной полуаддитивности + \[\mu^{*}(A) \geq \sum_{k = 1}^{\infty}\mu^{*}(A \cap E_{k}) + \mu^{*}(A \cap F_{c}) \geq \mu^{*}(A \cap F) + \mu^{*}(A \cap F^{c}) \geq \mu^{*}(A).\] + Это доказывает, что $F \in \mathcal{M}$. Если еще положить $A = F$, то $\mu^{*}(F) = \sum_{k = 1}^{\infty}\mu^{*}(E_{k})$. + + \item Пусть $\{A_{k}\} \subset \mathcal{M}$. Покажем, что $A = \bigcup_{k = 1}^{\infty}A_{k} \in \mathcal{M}$. + + Положим $E_{1} = A_{1}$, $E_{k} = A_{k} \setminus \bigcup_{i < k} E_{i}$. Тогда $E_{k}$ попарно не пересекаются, и $A = \bigcup_{k = 1}^{\infty}E_{k} \in \mathcal{M}$ по предыдущему пункту. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{corollary} + $\mathcal{B}(\R^{n}) \subset \mathcal{M}$. +\end{corollary} + +\begin{proof} + Брус измерим, так как его можно записать в виде пересечения конечного числа подпространств (измеримы по примеру \ref{lebeg-ex2}). По лемме \ref{lebeg-lem1} тогда всякое открытое множество измеримо. +\end{proof} + +\begin{definition} + $\mu = \mu^{*}\lvert_{\mathcal{M}}$ -- мера Лебега. +\end{definition} + +\begin{theorem}[непрерывность меры] + \begin{enumerate} + \item $A_{i} \in \mathcal{M}$, $A_{1} \subset A_{2} \subset \ldots$, $A = \bigcup_{i = 1}^{\infty} A_{i}$. Тогда $\mu(A) = \lim_{i \to \infty}\mu(A_{i})$ (непрерывность снизу). + \item $A_{i} \in \mathcal{M}$, $A_{1} \supset A_{2} \supset \ldots$, $A = \bigcap_{i = 1}^{\infty}A_{i}$, $\mu(A_{1}) < \infty$. Тогда $\mu(A) = \lim_{i \to \infty}\mu(A_{i})$ (непрерывность сверху). + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof} + \begin{enumerate} + \item Положим $B_{1} = A_{1}$, $B_{i} = A_{i} \setminus A_{i - 1}$. Тогда $B_{i} \in \mathcal{M}$, $B_{i} \cap B_{j} = \emptyset$ при $i \neq j$, и $\bigcup_{i = 1}^{m}B_{i} = \bigcup_{i = 1}^{m}A_{i}$ для всех $m \in \N \cup \infty$. Поэтому + \[\mu(A) = \mu\left(\bigcup_{i = 1}^{\infty}B_{i}\right) = \sum_{i = 1}^{\infty}\mu(B_{i}) = \lim_{m \to \infty}\sum_{i = 1}^{m} \mu(B_{i}) = \lim_{m \to \infty}\mu(A_{m}).\] + \item Рассмотрим $A_{1} \setminus A_{i}$. Применим прошлый пункт к этим множествам. Тогда $\bigcup_{i = 1}^{\infty}(A \setminus A_{i}) = A_{1} \setminus A$ и + \[\mu(A_{1}) - \mu(A) = \mu(A_{1} \setminus A) = \lim_{m \to \infty}\mu(A_{1} \setminus A_{m}) = \mu(A_{1}) - \lim_{m \to \infty}\mu(A_{m}).\] + Осталось из обоих частей вычесть $\mu(A_{1})$ и изменить знак. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{problem} + Покажите, что $\mu(A_{1}) < \infty$ -- существенно. +\end{problem} + +\begin{example}[инвариативность меры относительно сдвигов] + Пусть $E \in \mathcal{M}$ и $y \in \R^{n}$. Тогда $E + y = \{x + y: x \in E\} \in \mathcal{M}$ и $\mu(E + y) = \mu(E)$. +\end{example} + +\begin{proof} + Пусть $A \subset \R^{n}$ и $\{B_{i}\}_{i = 1}^{\infty}$ -- покрытие $A$ брусами. + \[A \subset \bigcup_{i = 1}^{\infty} B_{i} \Rightarrow A + y \subset \bigcup_{i = 1}^{\infty}(B_{i} + y).\] + Ясно, что $B_{i} + y$ -- брус, $|B_{i} + y| = |B_{i}|$. Тогда $\mu^{*}(A + y) \leq \sum_{i = 1}^{\infty}|B_{i}| \Rightarrow \mu^{*}(A + y) \leq \mu^{*}(A)$. Так как $A = (A + y) - y \Rightarrow \mu^{*}(A) \leq \mu^{*}(A + y)$, то есть $\mu^{*}(A) = \mu^{*}(A + y)$. + + Пусть $E \in \mathcal{M}$. Тогда + \[\mu^{*}(A \cap (E + y)) + \mu^{*}(A \cap (E + y)^{c}) = \mu^{*}\left(((A - y) \cap E) + y\right) + \mu^{*}\left(((A - y) \cap E^{c}) + y\right) =\]\[= \mu^{*}\left((A - y) \cap E\right) + \mu^{*}\left((A - y) \cap E^{c}\right) = \mu^{*}(A - y) = \mu^{*}(A),\] + так что $E + y$ также измеримо. +\end{proof} + +\begin{lemma}[регулярность меры] + Если $E \in \mathcal{M}$, то $\forall \epsilon > 0 \ \exists \underbrace{G}_{\text{откр.}} \supset E \left(\mu(G \setminus E) < \epsilon\right)$. +\end{lemma} + +\begin{proof} + Рассмотрим случай, когда $E$ ограничено, а значит, $\mu^{*}(E) < \infty$. Для $\epsilon > 0$ рассмотрим покрытие $E$ счетным семейством брусов $\{B_{k}\}$ с $\sum_{i = 1}^{\infty}|B_{i}| < \mu(E) + \frac{\epsilon}{2}$. По свойству брусов $\exists \underbrace{B_{i}^{o}}_{\text{откр.}} \supset B_{i}\left(|B_{i}^{o}| < |B_{i}| + \frac{\epsilon}{2^{i + 1}}\right)$. Определим $G = \bigcup_{i = 1}^{\infty} B_{i}^{o}$. Тогда $G$ -- открытое, $G \supset E$ и + \[\mu(G \setminus E) = \mu(G) - \mu(E) \leq \sum_{i = 1}^{\infty}|B_{i}^{0}| - \mu(E) < \epsilon.\] + + Перейдем к общему случаю. Поскольку $\R^{n} = \bigcup_{k = 1}^{\infty}A_{k}$, где $A_{k} = \{x \in \R^{n}: k - 1 \leq |x| < k\}$, то $E$ есть счетное объединение непересекающихся играниченных измеримых множеств $E_{k} = E \cap A_{k}$. По доказанному существует такое открытое множество $G_{k} \supset E_{k}$, что $\mu(G_{k} \setminus E_{k}) \leq \frac{\epsilon}{2^{k}}$. Тогда множество $G = \bigcup_{k = 1}^{\infty}G_{k}$ открыто, содержит $E$ и + \[\mu(G \setminus E) = \mu\left(\bigcup_{k = 1}^{\infty} G_{k} \setminus E\right) \leq \sum_{k = 1}^{\infty}\mu(G_{k} - E_{k}) < \epsilon.\] +\end{proof} + +\begin{corollary} + Если $E \in \mathcal{M}$, то $\forall \epsilon > 0 \ \exists \underbrace{F}_{\text{замк.}} \subset E \left(\mu(E \setminus F) < \epsilon\right)$. +\end{corollary} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/27lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/27lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..a518e44f --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/27lecture.tex @@ -0,0 +1,125 @@ +%03.05.23 + +\begin{definition} + Счетное пересечение открытых множеств называется множествами типа $G_{\delta}$. + + Счетное объединение замкнутых множеств называется множествами типа $F_{\sigma}$. +\end{definition} + +\begin{note} + Множества типа $G_{\delta}$ и $F_{\sigma}$ являются борелевскими. +\end{note} + +\begin{theorem}[критерий измеримости] + Множество $E$ измеримо $\lra$ существует множество $\Omega$ типа $G_{\delta}$, что $E \subset \Omega$ и $\mu(\Omega \setminus E) = 0$. +\end{theorem} + +\begin{proof} + Докажем первое утверждение. + + $(\Rightarrow)$ Для каждого $k \in \N$ найдется такое открытое $G_{k} \supset E$ с $\mu(G_{k} \setminus E) \leq \frac{1}{k}$. Положим $\Omega = \bigcap_{k=1}^{\infty}G_{k}$, тогда $E \subset \Omega$, и $\mu(\Omega \setminus E) \leq \mu(G_{k} \setminus E) \leq \frac{1}{k}$, откуда $\mu(\Omega \setminus E) = 0$. + + $(\Leftarrow)$ Поскольку $E = \Omega \setminus (\Omega \setminus E)$ есть разность двух измеримых множеств, то $E$ измеримо. +\end{proof} + +\begin{note} + Множество $E$ измеримо $\lra$ существует множество $\Delta$ типа $F_{\sigma}$, что $\Delta \subset E$ и $\mu(E \setminus \Delta) = 0$. +\end{note} + +\begin{theorem}[критерий измеримости] + Пусть $\mu^{*}(E) < \infty$. Множество $E$ измеримо $\lra$ существуют брусы $B_{1}, \ldots, B_{N}$, такие что $\forall \epsilon > 0 \ \mu^{*}(E \triangle \bigcup_{k = 1}^{N} B_{k}) < \epsilon$. +\end{theorem} + +\begin{proof} + + $(\Rightarrow)$ Зафиксируем $\epsilon > 0$. Если $E$ измеримо, то $\exists \underbrace{\{B_{k}\}_{k = 1}^{\infty}}_{\text{брусы}}$, такие что $E \subset \bigcup_{k = 1}^{\infty}B_{k}$ и $\sum_{k = 1}^{+\infty}|B_{k}| < \mu^{*}(E) + \frac{\epsilon}{2}$. Так как ряд $\sum_{k = 1}^{+\infty}|B_{k}|$ сходится, то $\exists N \left(\sum_{k = N + 1}^{+\infty}|B_{k}| < \frac{\epsilon}{2}\right)$. + + Положим $C = \bigcup_{k = 1}^{N} B_{k}$. Тогда: + \[\mu^{*}(E \triangle C) \leq \mu^{*}(E \setminus C) + \mu^{*}(C \setminus E) \leq \mu^{*}\left(\bigcup_{k = N + 1}^{+\infty}B_{k}\right) + \mu^{*}\left(\bigcup_{k = 1}^{+\infty}B_{k} \setminus E\right) \leq\] + \[\leq \sum_{k = N + 1}^{+\infty}|B_{k}| + \sum_{k = 1}^{+\infty}|B_{k}| - \mu^{*}(E) < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon.\] + + $(\Leftarrow)$ Пусть $\mu^{*}(E \triangle C) < \epsilon$. Тогда тем более $\mu^{*}(E \setminus C) < \epsilon$ и $\mu^{*}(C \setminus E) < \epsilon$. Поскольку $E \subset C \cup (E \setminus C)$ и $E^{c} \subset C^{c} \cup (C \setminus E)$, то для любого $A \subset \R^{n}$ имеем + \[\mu^{*}(A \cap E) + \mu^{*}(A \cap E^{c}) \leq \mu^{*}(A \cap C) + \mu^{*}(A \cap (E \setminus C)) + \mu^{*}(A \cap C^{c}) + \mu^{*}(A \cap (C \setminus E)) \leq\] + \[\leq \mu^{*}(A \cap C) + \mu^{*}(A \cap C^{c}) + \mu^{*}(E \setminus C) + \mu^{*}(C \setminus E) < \mu^{*}(A) + 2\epsilon.\] + + Следовательно, $\mu^{*}(A \cap E) + \mu^{*}(A \cap E^{c}) \leq \mu^{*}(A)$. Значит, $E$ измеримо. +\end{proof} + +\section{Интеграл Лебега} + +\subsection{Измеримые функции} + +Пусть $E$ измеримо и $f: E \to \overline{\R}$. +\begin{definition} + Функция $f$ называется \textit{измеримой} (по Лебегу), если $\{x \in E: f(x) < a\} = f^{-1}([-\infty, a))$ измеримо для всех $a \in \R$. +\end{definition} + +\begin{lemma} + Пусть $f: E \to \R$. Тогда следующие условия эквивалентны: + \begin{enumerate} + \item $f$ измеримо; + \item $f^{-1}(U)$ измеримо для любого открытого $U$ в $\overline{\R}$; + \item $f^{-1}(\Omega)$ для любого борелевского $\Omega$ в $\overline{\R}$. + \end{enumerate} +\end{lemma} + +\begin{proof} + Рассмотрим $\mathcal{A} = \{A \in B(\overline{\R}): f^{-1}(A) \text{ измеримо}\}$. Так как $\emptyset \in \mathcal{A}$, $E \setminus f^{-1}(A) = f^{-1}(\overline{\R} \setminus A) \Rightarrow (A \in \mathcal{A} \Rightarrow \overline{\R} \setminus A \in \mathcal{A})$ и $f^{-1}(\bigcup_{i = 1}^{\infty}A_{i}) = \bigcup_{i = 1}^{\infty}f^{-1}(A_{i}) \Rightarrow \bigcup_{i = 1}^{\infty}A_{i} \in \mathcal{A}$, то $\mathcal{A}$ образует $\sigma$-алгебру. $\mathcal{A}$ содержит все лучи $[-\infty, a)$. Следовательно, $B(\overline{\R}) = \mathcal{A}$, то есть $(1 \Rightarrow 3)$. + + Импликации $(3 \Rightarrow 2 \Rightarrow 1)$ очевидны. +\end{proof} + +\begin{note} + В определении измеримой функции $<$ можно заменить на $\leq, >, \geq$. Это следует из следующих равенств: + + \[\{x: f(x) \leq a\} = \bigcap_{k = 1}^{\infty}\{x: f(x) < a + \frac{1}{k}\},\] + \[\{x: f(x) \geq a\} = \bigcap_{k = 1}^{\infty}\{x: f(x) > a - \frac{1}{k}\},\] + \[\{x: f(x) > a\} = E \setminus \{x: f(x) \leq a\},\] + \[\{x: f(x) < a\} = E \setminus \{x: f(x) \geq a\}.\] +\end{note} + +\begin{example} + \begin{enumerate} + \item Пусть $A \subset \R^{n}$, Определим \textit{индикатор (характеристическую функцию)} $A$: + \[\I_{A}: \R^{n} \to \R^{n}, \ \I_{A}(x) = \begin{cases} + 1, \ x \in A;\\ + 0, \ x \not\in A. + \end{cases}\] + Поскольку $\{x: \I_{A}(x) < a\}$ пусто при $a \leq 0$, совпадает с $A^{c}$ при $a \in (0, 1]$ и совпадает с $\R^{n}$ при $a > 1$, то функция $\I_{A}$ является измеримой $\lra$ $A$ измеримо. + \item Пусть $f: E \to \R$ непрерывна и измерима на $E$. По критерию непрерывности $f^{-1}(-\infty, a)$ открыто в $E$, то есть $\exists \underbrace{G}_{\text{откр. в } \R^{n}}: f^{-1}(-\infty, a) = E \cap G$. Следовательно, $f^{-1}(-\infty, a)$ измеримо как пересечение измеримых множеств. + \end{enumerate} +\end{example} + +\begin{theorem} + Если $f, g: E \to \R$ измеримые и $\lambda \in \R$, то $f + g, \lambda f, |f|, fg$ также измеримы. +\end{theorem} + +\begin{proof} + \begin{enumerate} + \item Докажем измеримость суммы. Поскольку $\alpha < \beta \lra \exists r \in \Q (\alpha < r < \beta)$, $\Q = \{r_{k}\}_{k = 1}^{\infty}$, то + \[\{x \in E: f(x) + g(x) < a\} = \{x \in E: f(x) < a - g(x)\} = \bigcup_{k = 1}^{\infty}\{x \in E: f(x) < r_{k} < a - g(x)\} = \] + \[= \bigcup_{k = 1}^{\infty}\{x \in E: f(x) < r_{r}\} \cap \{x \in E: g(x) < a - r_{k}\}.\] + + Следовательно, $\{x \in E: f(x) + g(x) < a\}$ измеримо. + + \item Пусть $\lambda > 0$, тогда $\{x \in E: \lambda f(x) < a\} = \{x \in E: f(x) < \frac{a}{\lambda}\}$ измеримо. + + Если $\lambda = 0$, то тривиально. Если $\lambda < 0$, то аналогично. + + \item Так как $\{x \in E: f^{2}(x) < a\} = \{x \in E: f(x) < \sqrt{a}\} \cap \{x \in E: f(x) > -\sqrt{a}\}$ измеримо $\forall a > 0$. + + Если $a \leq 0$, то $\{x \in E: f^{2}(x) < a\} = \emptyset$ -- измеримо. + + Следовательно, $f^{2}$ -- измеримая функция. Аналогично для $|f|$. + + Так как $fg = \frac{1}{2}\left((f + g)^{2} - f^{2} - g^{2}\right)$, то $fg$ измерима. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{problem} + Пусть $g: E \to \R$ измерима, $g \neq 0$ на $E$. Докажите, что $\frac{f}{g}$ измерима. +\end{problem} + +\begin{note} + Теорема остается справедливой для функций со значениями в $\overline{\R}$, если операции допустимы. Например, для $f + g$ необходимо $f^{-1}(-\infty) \cap g^{-1}(+\infty) = \emptyset$ и $f^{-1}(+\infty) \cap g^{-1}(-\infty) = \emptyset$. +\end{note} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/28lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/28lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..6f2915e4 --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/28lecture.tex @@ -0,0 +1,146 @@ +%04.05.23 + +\begin{definition} + Функции $f^{+} = \max\{f, 0\}$ и $f^{-} = \max\{-f, 0\}$ называются \textit{положительной} и \textit{отрицательной} частями $f$ соответственно. +\end{definition} + +\begin{note} + Из определения следует, что $f = f^{+} - f^{-}$, $|f| = f^{+} + f^{-}$ и $0 \leq f^{\pm} \leq |f|$. +\end{note} + +\begin{corollary} + Измеримость $f$ равносильна одновременной измеримости $f^{+}$ и $f^{-}$. +\end{corollary} + +\begin{proof} + Пусть $f$ измерима, тогда $f^{\pm} = \frac{1}{2}(|f| \pm f)$ -- измеримы. Если $f^{\pm}$ измеримы, то $f = f^{+} - f^{-}$ измерима. +\end{proof} + +\begin{theorem} + Если $f_{k}: E \to \overline{\R}$ -- измеримы, то $\underset{k}{\sup}f_{k}$, $\underset{k}{\inf}f_{k}$, $\overline{\lim}_{k \to +\infty}f_{k}$, $\underline{\lim}_{k \to +\infty}f_{k}$ также измеримы на $E$. +\end{theorem} + +\begin{proof} + Измеримость $g = \underset{k}{\sup}f_{k}$ следует из равенства: + \[\{x \in E: g(x) \leq a\} = \bigcap_{k = 1}^{+\infty}\{x \in E: f_{k}(x) \leq a\}\] + + Измеримость $h = \underset{k}{\inf}f_{k}$ следует из $\underset{k}{\inf}f_{k} = -\underset{k}{\sup}(-f_{k})$. + + Далее, поскольку $\overline{\lim}_{k \to +\infty}f_{k} = \underset{k}{\inf}\underset{m \geq k}{\sup}f_{m}$, $\underline{\lim}_{k \to +\infty}f_{k} = \underset{k}{\sup}\underset{m \geq k}{\inf}f_{m}$, то оба предела измеримы. +\end{proof} + +\begin{corollary} + Если $f_{k}: E \to \overline{\R}$ измеримы, и $f(x) = \lim_{k \to +\infty}f_{k}(x)$ для всех $x \in E$, то $f$ измерима на $E$. +\end{corollary} + +\begin{proof} + Вытекает из предыдущей теоремы, но докажем непосредственно. + + Имеем $f(x) < a \lra \exists j \in \N \ \exists N \ \forall k \geq N \ (f_{k}(x) < a - \frac{1}{j})$. + + $\{x: f(x) < a\} = \bigcup_{j = 1}^{+\infty}\bigcup_{N = 1}^{+\infty}\bigcap_{k = N}^{+\infty} \{x: f_{k}(x) < a - \frac{1}{j}\}$ -- измеримо как операции над измеримыми множествами. +\end{proof} + +\begin{definition} + Пусть $E \subset \R^{n}$, $Q$ -- формула на $E$. + + Говорят, что $Q$ верна \textit{почти везде на $E$}, если $\mu(x \in E: Q(x) \text{ ложно}) = 0$. +\end{definition} + +\begin{lemma} + Пусть $f, g: E \to \R$. Если $f = g$ почти везде и $f$ измерима, то $g$ измерима. +\end{lemma} + +\begin{proof} + По условию, $Z = \{x \in E: f(x) \neq g(x)\}$ имеет меру нуль. Тогда для любого $a \in \R$ имеем $\{x \in E: g(x) < a\} = (\{x \in E : f(x) < a\} \cap Z^{c})\cup(\{x \in E: g(x) < a\}\cap Z)$ -- измеримо. +\end{proof} + +\begin{corollary} + Если $f_{k}: E \to \overline{\R}$ измеримы и $f_{k} \to f$ почти везде на $E$, где $f: E \to \overline{\R}$, то $f$ измерима. +\end{corollary} + +\begin{proof} + $g = \overline{\lim}_{k \to +\infty}f_{k}$ измерима на $E$, $f = g$ почти везде на $E$, значит $f$ измерима (по лемме). +\end{proof} + +\begin{definition} + Функция $\phi: \R^{n} \to \R$ называется \textit{простой}, если $\phi$ измерима и множество её значений конечно. +\end{definition} + +\begin{note} + Любая линейная комбинация индикаторов измеримых множеств является простой функцией. + + С другой стороны, для любой простой функции $\phi$ существует разбиение $\R^{n}$ конечным числом измеримых множеств, на которых $\phi$ постоянна (допустимое разбиение для $\phi$). Такое разбиение можно построить следующим образом: пусть $\phi(\R^{n}) = \{a_{1}, \ldots, a_{m}\}$, где $a_{i}$ попарно различны, определим $A_{i} = \phi^{-1}(a_{i})$. Тогда $\phi = \sum_{i = 1}^{m}a_{i} \I_{A_{i}}$ и $\{A_{i}\}$ -- допустимое разбиение. +\end{note} + +Рассмотрим вопрос о приближении измеримых функций простыми. + +\begin{theorem} + Если $f: E \to [0, +\infty]$ -- неотрицательная измеримая функция, то существует последовательность $\{\phi_{k}\}$ неотрицательных простых функций, таких что $\forall x \in E$ выполняется + \begin{enumerate} + \item $0 \leq \phi_{1}(x) \leq \phi_{2}(x) \leq \ldots$ + \item $\lim_{k \to +\infty}\phi_{k}(x) = f(x)$ + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof} + Для $k \in \N$ определим множества: + \[E_{k, j} = \left\{x \in E: \frac{j - 1}{2^{k}} \leq f(x) < \frac{j}{2^{k}}\right\}, \ j = 1, \ldots, k\cdot2^{k},\] + \[F_{k} = \{x \in E: f(x) \geq k\}.\] + Множества $E_{k, j}$ и $F_{k}$ измеримы и в объединении дают $E$. + + Определим $\phi_{k} = \sum_{j = 1}^{k\cdot2^{k}}\frac{j - 1}{2^{k}}\I_{E_{k, j}} + k\cdot\I_{F_{k}}$. Пусть $x \in E$. Покажем, что $\{\phi_{k}(x)\}$, возрастая, стремится к $f(x)$. + + Если $f(x) = +\infty$, то $\phi_{k}(x) = k$ для всех $k$ и утверждение верно. + + Пусть $f(x) \in \R$ и $k \in \N$. Если $f(x) \geq k + 1$, то $\phi_{k + 1}(x) = k + 1 > k = \phi_{k}(x)$. Если $k \leq f(x) < k + 1$, то $\phi_{k + 1}(x) \geq k = \phi_{k}(x)$. + + Пусть $f(x) < k$, тогда $\frac{j - 1}{2^{k}} \leq f(x) < \frac{j}{2^{k}}$ для некоторого $j$, $1 \leq j \leq k\cdot2^{k}$. Возможны два варианта: $\frac{2j - 2}{2^{k + 1}} \leq f(x) < \frac{2j - 1}{2^{k + 1}}$ или $\frac{2j - 1}{2^{k + 1}} \leq f(x) < \frac{2j}{2^{k + 1}}$. В обоих случаях $\phi_{k + 1}(x) \geq \frac{2j - 2}{2^{k+1}} = \frac{j - 1}{2^{k}} = \phi_{k}(x)$ и возрастание установлено. Кроме того, $0 \leq f(x) - \phi_{k}(x) < 2^{-k}$ при всех $k \geq [f(x)] + 1$, откуда следует, что $\phi_{k}(x) \to f(x)$. +\end{proof} + +\begin{note} + Если $f$ ограничена, то $\phi_{k} \rightrightarrows f$ на $E$. +\end{note} + +\begin{definition} + Пусть $\phi$ -- простая функция, $\phi = \sum_{i = 1}^{m}a_{i} \I_{A_{i}}$, где $\{A_{i}\}_{i = 1}^{m}$ -- допустимое разложение. + + Интегралом от $\phi$ по измеримому множеству $E$ называется + \[\int_{E}\phi d\mu = \sum_{i = 1}^{m}a_{i}\mu(E \cap A_{i}).\] +\end{definition} + +\begin{lemma} + Пусть $\phi, \psi$ -- простые функции. Тогда: + \begin{enumerate} + \item Если $\phi \leq \psi$ на $E$, то $\int_{E}\phi d\mu \leq \int_{E}\psi d\mu$ (монотонность). + \item Если $\alpha \in [0, +\infty)$, то $\int_{E}\alpha\phi d\mu = \alpha \int_{E}\phi d\mu$ (положительная однородность). + \item $\int_{E}(\phi + \psi) d\mu = \int_{E}\phi d\mu + \int_{E}\psi d\mu$ (аддитивность по функциям). + \end{enumerate} +\end{lemma} + +\begin{proof} + Пусть $\{A_{i}\}_{i = 1}^{m}$, $\{B_{j}\}_{j = 1}^{k}$ -- допустимые разбиения $\phi$ и $\psi$ соответственно $(\phi|_{A_{i}} = a_{i}, \ \phi|_{B_{j}} = b_{j})$. Положим $C_{ij} = A_{i} \cap B_{j}$. + + Тогда $\{C_{ij}\}$ -- общее допустимое разбиение для $\phi$ и $\psi$. Поскольку $A_{i} = A_{i} \cap \R^{n} = A_{i} \cap (\bigcup_{j = 1}^{k}B_{j}) = \bigcup_{j = 1}^{k}C_{ij}$, то по свойству аддитивности меры $\int_{E}\phi d\mu = \sum_{i = 1}^{m}a_{i} \mu(E \cap A_{i}) = \sum_{i = 1}^{m}a_{i}\mu(\bigcup_{j = 1}^{k}(E \cap C_{ij})) = \sum_{i = 1}^{m}\sum_{j = 1}^{k}a_{i}\mu(E \cap C_{ij})$. + + Аналогично, $\int_{E} \psi d\mu = \sum_{j = 1}^{k}\sum_{i = 1}^{m}b_{j}\mu(E \cap C_{ij})$. Если $E \cap C_{ij} \neq \emptyset$, то для любого $x \in E \cap C_{ij}$ имеем $a_{i} = \phi(x) \leq \psi(x) = b_{j}$, что завершает доказательство. + + Доказательство пункта 2 очевидно. + + Доказательство пункта 3 аналогично пункту 1. +\end{proof} + +\begin{note} + Попутно про доказательстве монотонности доказана корректность определения интеграла (то есть независимость от выбора допустимого разбиения). +\end{note} + +\begin{definition} + Пусть $f: E \to [0, +\infty]$ -- неотрицательная измеримая функция. Тогда: + \[\int_{E} f d\mu = \sup\left\{\int_{E}\phi d\mu, \ 0 \leq \phi \leq f, \ \phi \text{ -- простая}\right\}.\] +\end{definition} + +\begin{note} + Покажем, что определение согласуется с интегралом от простой функции. Чтобы их различить, перед знаком введенного ранее интеграла поставим $(s)$. + + Пусть $f$ -- простая неотрицательная функция. Если $0 \leq \phi \leq f$ и $\phi$ -- простая, то по свойству монотонности $(s)\int_{E} \phi d\mu \leq (s) \int_{E} f d\mu$. Переходя к супремуму по $\phi$, получим $\int_{E} \phi d\mu \leq (s) \int_{E} f d\mu$. Противоположное неравенство очевидно, так как $f$ сама является простой функцией. +\end{note} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/29lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/29lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..d55f92f3 --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/29lecture.tex @@ -0,0 +1,174 @@ +%10.05.23 + +Непосредственно из определений вытекают следующие свойства интеграла Лебега. + +Пусть $f, g : E \rightarrow [0, +\infty]$ --- неотрицательные измеримые функции. + +\begin{property}[монотонность] + \label{lebint-prop1} + Если $f \le g$ на $E$, то $\int_E f \, d\mu \le \int_E g \, d\mu$. +\end{property} + +\begin{property}[однородность] + Если $\lambda \in [0, +\infty)$, то $\int_E \lambda f \, d\mu = \lambda \int_E f \, d\mu$. +\end{property} + +\begin{property} + \label{lebint-prop3} + Если $E_0 \subset E$ измеримо, то $\int_{E_0} f \, d\mu = \int_E f \cdot \I_{E_0} \, d\mu$. + + \begin{proof} + Пусть $0 \le \underbrace{\phi}_{\text{прост.}} \le f$ на $E_0$, тогда + \begin{gather*} + \int_{E_0} \phi \, d\mu = \int_E \phi \cdot \I_{E_0} \, d\mu \le \int_E f \cdot \I_{E_0} \, d\mu, \\ + \int_{E_0} f \, d\mu \le \int_E f \cdot \I_{E_0} \, d\mu \leq. + \end{gather*} + + Обратно, пусть $0 \le \underbrace{\psi}_{\text{прост.}} \le f \cdot \I_{E_0}$ на $E$. Тогда $\psi = 0$ на $E \setminus E_0$ и, значит, $\psi = \psi \cdot \I_{E_0}$ на $E$. Следовательно, + \[ + \int_E \psi \, d\mu = \int_E \psi \cdot \I_{E_0} \, d\mu = \int_{E_0} \psi \, d\mu \le \int_{E_0} f \, d\mu. + \] + и, значит, $\int_E f \cdot \I_{E_0} \, d\mu \le \int_{E_0} f \, d\mu$. + \end{proof} +\end{property} + +\begin{property} + Если $E_0 \subset E$ измеримо, то $\int_{E_0} f \, d\mu \le \int_E f \, d\mu$. + + \begin{proof} + По свойствам (\ref{lebint-prop1}) и (\ref{lebint-prop3}) имеем + \[ + \int_{E_0} f \, d\mu = \int_E f \cdot \I_{E_0} \, d\mu \le \int_E f \, d\mu. + \] + \end{proof} +\end{property} + +\begin{theorem}[Беппо Леви] + Пусть $f_k : E \rightarrow [0, +\infty]$ измеримы, и $f_k \rightarrow f$ на $E$. Если $0 \le f_k(x) \le f_{k + 1}(x)$ для всех $x \in E$ и $k \in \N$, то + \[ + \lim_{k \rightarrow \infty} \int_E f_k \, d\mu = \int_E f \, d\mu. + \] + + \begin{proof} + Интегрируя $f_k \le f_{k + 1} \le f$ на $E$, получим + \[ + \int_E f_k \, d\mu \le \int_E f_{k + 1} \, d\mu \le \int_E f \, d\mu. + \] + Следовательно, $\left\{\int_E f \, d\mu \right\}$ нестрого возрастает (в $\overline{\R}$) и, значит, существует + \[ + \lim_{k \rightarrow \infty} \int_E f_k \, d\mu \le \int_E f \, d\mu. + \] + Докажем противоположное неравенство. Для этого достаточно доказать, что $\lim_{k \to \infty}\int_E f_k \, d\mu \ge \int_E \phi \, d\mu$ для всех простых $\phi$, $0 \le \phi \le f$ на $E$. + + Рассмотрим такую функцию $\phi$. Зафиксируем $t \in (0, 1)$. Положим $E_k = \left\{x \in E : f_k(x) \ge t\phi(x)\right\}$. + + Ввиду монотонности $\forall k \ E_k \subset E_{k + 1}$. Докажем, что $\bigcup_{k = 1}^\infty E_k = E$. Включение <<$\subset$>> очевидно. + + Пусть $x \in E$. Если $\phi(x) = 0$, то $\forall k \ x \in E_k$. + + Если $\phi(x) > 0$, то $f(x) \ge \phi(x) > t\phi(x)$. Тогда $\exists m \in \N \ \left(f_m(x) \ge t\phi(x)\right)$, то есть $x \in E_m$. + + По монотонности + \begin{equation} + \label{levi-asterisk} + \int_E f_k \, d\mu \ge \int_{E_k} f_k \, d\mu \ge t\int_{E_k} \phi \, d\mu. + \end{equation} + + Пусть $\phi = \sum_{i = 1}^N a_i \cdot \I_{A_i}$, где $\{A_i\}_1^N$ --- допустимое разбиение. + + Тогда по свойству монотонности меры: + \[ + \int_{E_k} \phi \, d\mu = \sum_{i = 1}^N a_i \mu(A_i \cap E_k) \underset{k \rightarrow \infty}{\rightarrow} \sum_{i = 1}^N a_i \mu(A_i \cap E) = \int_E \phi \, d\mu. + \] + + Переходя к пределу в неравенстве (\ref{levi-asterisk}) + \[ + \lim_{k \rightarrow \infty} \int_E f_k \, d\mu \ge t \int_E \phi \, d\mu, \ t \rightarrow 1 - 0. + \] + \end{proof} +\end{theorem} + +\begin{problem} + Пусть $\{f_k\}$ --- последовательность неотрицательных измеримых функций и $f_k \rightarrow f$ почти всюду на $E$. Если $\exists C > 0 \ \left(\int_E f_k \, d\mu \le C\right)$, то $\int_E f\, d\mu \le C$. +\end{problem} + +Теорема Леви в сочетании с теоремой о приближении неотрицательной измеримой функции простыми позволяет переносить свойства интеграла Лебега с простых функций на неотрицательные измеримые. + +\begin{property}[аддитивность] + Если $f, g \ge 0$ измеримы на $E$, то $\int_E (f + g) \, d\mu = \int_E f \, d\mu + \int_E g \, d\mu$. + + \begin{proof} + Пусть $\phi_k \uparrow (\text{ возрастает и стремится к }) f, \psi_k \uparrow g$ на $E$. Тогда $\phi_k + \psi_k \uparrow f + g$ на $E$ и, значит, по теореме Леви + \begin{gather*} + \int_E (f + g) \, d\mu = \lim_{k \rightarrow \infty} \int_E (\phi_k + \psi_k) \, d\mu =\\= \lim_{k \rightarrow \infty} \int_E \phi_k \, d\mu + \lim_{k \rightarrow \infty} \int_E \psi_k \, d\mu = \int_E f \, d\mu + \int_E g \, d\mu. + \end{gather*} + \end{proof} +\end{property} + +\begin{corollary}[теорема Леви для рядов] + Если $f_k \ge 0$ измерима на $E$, то + \[ + \int_E \sum_{k = 1}^\infty f_k \, d\mu = \sum_{k = 1}^\infty \int_E f_k \, d\mu. + \] + + \begin{proof} + По предыдущему свойству + \[ + \int_E \sum_{k = 1}^m f_k \, d\mu = \sum_{k = 1}^m \int_E f_k \, d\mu. + \] + + Поскольку $f_k \ge 0$, то последовательность частичных сумм ряда нестрого возрастает (по $m$). Поэтому по теореме Леви $\lim_{m \rightarrow \infty} \int_E \sum_{k = 1}^m f_k \, d\mu = \int_E \sum_{k = 1}^\infty f_k \, d\mu$. + \end{proof} +\end{corollary} + +% Теорема 5 +\begin{theorem}[счётная аддитивность интеграла] + Пусть $E_k$ измеримы и попарно не пересекаются, $E = \bigsqcup_{k = 1}^\infty E_k$. Если $f \ge 0$ на $E$, то + \[ + \int_E f \, d\mu = \sum_{k = 1}^\infty \int_{E_k} f \, d\mu. + \] + + \begin{proof} + Поскольку $\{E_k\}$ образуют разбиение $E$, то $\I_E = \sum_{k = 1}^\infty \I_{E_k}$, $f = f \cdot \I_E = \sum_{k = 1}^\infty f \cdot \I_{E_k}$ на $E$. Следовательно, по теореме Леви для рядов и + \[ + \int_E f \, d\mu = \sum_{k = 1}^\infty \int_E f \cdot \I_{E_k} \, d\mu = \sum_{k = 1}^\infty \int_{E_k} f \, d\mu. + \] + \end{proof} +\end{theorem} + +\begin{theorem}[неравенство Чебышёва] + Если $f \ge 0$ измерима на $E$, то $\forall t \in (0, +\infty)$ + \[ + \mu\{x \in E : f(x) \ge t\} \le \frac{1}{t} \int_E f \, d\mu. + \] + + \begin{proof} + Рассмотрим $E_t = \{x : f(x) \ge t\}$, тогда + \[ + \int_E f \, d\mu \ge \int_{E_t} f \, d\mu \ge t\int_{E_t} d\mu = t \cdot \mu(E_t). + \] + \end{proof} +\end{theorem} + +\subsection{Интеграл Лебега в общем случае} + +\begin{definition} + Пусть $f : E \rightarrow \overline{\R}$ измерима, тогда + \[ + \int_E f \, d\mu \coloneqq \int_E f^+ \, d\mu - \int_E f^- \, d\mu, + \] + при условии, что хотя бы один из $\int_E f^\pm \, d\mu$ конечен. + + Функция $f$ называется \emph{интегрируемой} (по Лебегу), если оба интеграла $\int_E f^\pm \, d\mu$ конечны. +\end{definition} + +\begin{note} + Данное определение согласуется с определением интеграла от неотрицательной функции, так как + \[ + f^+ = f, f^- \equiv 0 \text{ и } \int_E 0 \, d\mu = 0. + \] +\end{note} + +\begin{note} + Если $f$ измерима на $E$, то условия интегрируемости $f$ и $|f|$ равносильны. В случае интегрируемости $\left|\int_E f \, d\mu\right| \le \int_E |f| \, d\mu$. +\end{note} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/2lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/2lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..543088a3 --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/2lecture.tex @@ -0,0 +1,108 @@ +% 13.09.2023 + +\section{Наивная теория множеств.} +\subsection{Определения.} + +В этой теории понятия множества, элемента являются первоначальными, поэтому нет строгого их определения. Но интуитивно их определить можно. + +\begin{definition} +Множество -- это совокупность объектов, объединенных в одно условие. +\end{definition} + +Множества будем обозначать большими латинскими буквами, а их элементы -- маленькими. Будем записывать принадлежность элемента $x$ множеству $X$ так: $$x \in X$$ + +\subsection{Задание множества.} + +Множество можно задать так: +\begin{enumerate} + \item Перечисление элементов. То есть запись вида: + $$\{x_1, x_2, \dots, x_n\}.$$ + Но этот способ плохо работает для бесконечных множеств, например, у множества $\{0, 1, 2, \dots\}$ казалось бы, что следующий элемент - это $3,$ но и $720!$ тоже может быть, ведь $1 = 1!, 2 = 2!!, 3!!!= 120!.$ + \item По характерному свойству, то есть записать множество в виде: + $$\{ x | <<\text{условие на } x >> \}.$$ + Например, множество четных натуральных чисел можно записать так: + $$\{ x \in \N_0 | \exists k, x = 2k \}.$$ +\end{enumerate} + +\subsection{Парадоксы.} + +На самом деле наша теория имеет в себе парадоксы, рассмотрим два из них. + +Для начала рассмотрим \textbf{парадокс Рассела.} + +Назовем $A$ \textit{неправильным}, если $A \in A.$ В противном случае, оно \textit{правильное.} + +Пусть $M$ -- множество всех правильных множеств. $M$ -- правильное? + +\begin{enumerate} + \item Если $M$ -- правильное, то $M \in M($так как оно содержит все правильные множества). То есть оно еще и неправильное, противоречие. + \item Если $M$ -- неправильное, то $M \in M.$ Тогда $M$ -- еще и правильное множество, так как содержит только все правильные множества. Противоречие. +\end{enumerate} + +Теперь рассмотрим второй парадокс. Пусть +$$A = \{ x \in \N | x \text{ можно описать не более чем 20 словами} \}$$ + +Ясно, что оно конечно. Теперь рассмотрим наименьшее число $n,$ которое не входит в это множество. То есть его можно описать так: $$n - \text{наименьшее натуральное число, которое нельзя описать $20$ словами}.$$ +То есть оно описывается не более $20$ словами. Тогда оно должно входить в это множество, получим противоречие. + +Оба парадокса показывают, что нам нужно ввести ограничения на характерное условие множества. + +\subsection{Отношения между множествами.} + +\begin{definition} + Множество $A$ является подмножеством множества $B,$ если любой элемент $A$ лежит во множестве $B.$ Записывается это так: + $$A \subseteq B.$$ +\end{definition} + +Считается, что пустое множество является подмножеством всех множеств. + +\begin{definition} + $$A = B \Longleftrightarrow + \left\{\begin{array}{l} + A \subseteq B\\ + B \subseteq A +\end{array}\right. +$$ +\end{definition} + +Выпишем свойства этого отношения: + +\begin{enumerate} + \item $A \subseteq A \text{ (рефлексивность)} $\\ + \item $A \subseteq B, B \subseteq C \Longrightarrow A \subseteq C \text{ (транзитивность)}$ \\ + \item $A \subseteq B, B \subseteq A \Longrightarrow A = B$ \text{ (антисимметричность)} +\end{enumerate} + +\subsection{Операции с множествами.} +\begin{definition} + \begin{enumerate} + \item $A \cup B = \{x | x \in A \vee x \in B\}$ + \item $A \cap B = \{x | x \in A \wedge x \in B\}$ + \item $A \backslash B = \{ x | x \in A \wedge \overline{x \in B} \}$ + \item $A \triangle B = A \backslash B \vee B \backslash A.$ + \item $\overline{A} = \{x | x \notin A \}$ + \end{enumerate} +\end{definition} + +\subsection{Предикаты.} + +\begin{definition} + \textit{Предикатом} назовем выражения, зависящие от переменных, являющиеся истинными или ложными при каждом значении переменных. Количество переменных назовем \textit{арностью.} +\end{definition} + +\begin{problem} +Доказать, что для всех множеств $A_i$ верно: +$$\overline{A_1 \cap \dots A_n} = \overline{A_1} \cup \dots \cup \overline{A_n}$$ +\end{problem} + +\begin{proof} + Пусть $B$ --- множество индексов, тогда перепишем требуемое: + $$\underset{\alpha \in B}{\cap} A_{\alpha} = \overline{\underset{\alpha \in B}{\cup} \overline{A_{\alpha}}}$$ + Докажем, что левое множество вложено в правое. Пусть $x$ --- элемент левого множества. Тогда $x \in A_{\alpha}$ для всех $\alpha \in B \Longrightarrow x \notin \overline{A_i} \Longrightarrow x \in \overline{\underset{\alpha \in B}{\cup} \overline{A_{\alpha}}}$ + Аналогично доказывается, что правое множество вложено в левое. +\end{proof} + +\subsection{Кванторы.} + +$$\forall x \text{ } P(x) := \underset{x}{\wedge} P(x)$$ +$$\exists x \text{ } P(x) := \underset{x}{\vee} P(x)$$ \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/30lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/30lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..50fca85c --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/30lecture.tex @@ -0,0 +1,110 @@ +%11.05.23 + +\begin{proof} + Если $f$ интегрируема на $E$, то $\int_{E}f^{\pm} d\mu < +\infty$. Тогда в силу оценки $|f| = f^{+} + f^{-}$ интеграл $\int_{E}|f| d\mu < +\infty$. Если $|f|$ интегрируема на $E$, то в силу оценки $0 \leq f^{\pm} \leq |f|$ получаем, что $\int_{E}f^{\pm} d\mu < +\infty$, то есть $f$ интегрируема на $E$. + + Имеем + \[\left|\int_{E}f d\mu\right| = \left|\int_{E}f^{+} d\mu - \int_{E}f^{-} d\mu\right| \leq \int_{E}f^{+} d\mu + \int_{E}f^{-} d\mu = \int_{E}|f| d\mu.\] +\end{proof} + +\begin{note} + Если $f$ интегрируема на $E$, то $f$ конечна почти всюду на $E$. +\end{note} + +\begin{proof} + Определим $A = \{x \in E: |f(x)| = +\infty\}$. Тогда по неравенству Чебышева для любого $t \in (0; +\infty)$ : + $\mu(A) \leq \mu\{x : |f(x)| \geq t\} \leq \frac{1}{t}\int_{E}|f| d\mu$. Устремляя $t \to +\infty$, получаем, что $\mu(A) = 0$. +\end{proof} + +\begin{lemma} + Если $\underbrace{E_{0}}_{\text{изм.}} \subset E$ и $\mu(E\setminus E_{0}) = 0$, то интегралы $\int_{E}f d\mu$ и $\int_{E_{0}}f d\mu$ существуют одновременно и в случае существования совпадают. +\end{lemma} + +\begin{proof} + Отметим, что $f$ на $E$ и $f$ на $E_{0}$ измеримы одновременно. + По свойству аддитивности по множествам: + \[\int_{E}f^{\pm} d\mu = \int_{E_{0}}f^{\pm} d\mu + \int_{E\setminus E_{0}}f^{\pm} d\mu = \int_{E_{0}}f^{\pm} d\mu.\] + Учтем, что интеграл по множеству меры 0 от произведения измеримых функций равен 0. Это вытекает из определения интеграла, для простых функций также следует учесть, что она ограничена. +\end{proof} + +\begin{corollary} + Пусть $f, g : \underbrace{E}_{\text{изм.}} \to {\R}$. Если $f$ интегрируема на $E$ и $f = g$ почти всюду на $E$, то $g$ интегрируема на $E$ и $\int_{E}g d\mu = \int_{E}f d\mu$. +\end{corollary} + +\begin{problem} + Пусть $f$ измерима на $E$ и существует интегрируемая на $E$ функция $g$, такая что $|f| \leq g$ почти всюду на $E$. Докажите, что $f$ интегрируема на $E$. +\end{problem} + +\begin{proof} + Пусть $E_{0} \subset E$ -- подмножество, на котором $f \neq g$, $\mu(E_{0}) = 0$. + + $\int_{E}|f| d\mu = \int_{E_{0}}|f| d\mu + \int_{E \setminus E_{0}}|f| d\mu \leq \int_{E \setminus E_{0}}g d\mu \leq \int_{E}g d\mu < + \infty$ +\end{proof} + +\begin{theorem} + Пусть $f, g : E \to {\R}$ интегрируема и $\alpha \in {\R}$. Тогда: + \begin{enumerate} + \item Если $f \leq g$ на $E$, то $\int_{E}f d\mu \leq \int_{E}g d\mu$; + \item $\int_{E}\alpha f d\mu = \alpha \int_{E}f d\mu$; + \item $\int_{E}(f + g) d\mu = \int_{E}f d\mu + \int_{E}g d\mu$. + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof}~ + + \begin{enumerate} + \item Пусть $f \leq g$ на $E$. Тогда $f^{+} \leq g^{+}$, $f^{-} \geq g^{-}$ и, значит, $\int_{E}f^{+} d\mu \leq \int_{E}g^{+} d\mu$ и $\int_{E}f^{-} d\mu \geq \int_{E}g^{-} d\mu$. Вычтем одно неравенство из другого, получаем $\int_{E}f d\mu \leq \int_{E}g d\mu$. + + \item Пусть $\alpha \geq 0$. Тогда $(\alpha f)^{+} = \alpha f^{+}$, $(\alpha f)^{-} = \alpha f^{-}$ и, значит, + $\int_{E}\alpha f d\mu = \int_{E}(\alpha f)^{+} d\mu - \int_{E}(\alpha f)^{-} d\mu = \alpha \int_{E}f^{+} d\mu - \alpha \int_{E}f^{-} d\mu = \alpha \int_{E}f d\mu$. Так как $(-f)^{+} = \max\{-f, 0\} = f^{-}$, $(-f)^{-} = \max\{f, 0\} = f^{+}$, то: + + \[\int_{E}(-f) d\mu = \int_{E}(-f)^{+} d\mu - \int_{E}(-f)^{-} d\mu = \int_{E}f^{-} d\mu - \int_{E}f^{+} d\mu = - \int_{E}f d\mu.\] + + Случай $\alpha < 0$ сводится к рассмотренному, так как $\alpha = (-1)|\alpha|$. + \item Так как $f$ и $g$ конечны почти всюду на $E$ (из интегрируемости), то $\exists E_{0} \subset E$ и $\mu(E \setminus E_{0}) = 0$, на котором определена функция $h = f + g$. Функция $h = f + g$ интегрируема на $E_{0}$ (так как $|h| \leq |f| + |g|$) и $h^{+} - h^{-} = h = f + g = (f^{+} - f^{-}) + (g^{+} - g^{-})$ или $h^{+} + f^{-} + g^{-} = h^{-} + f^{+} + g^{+}$ на $E_{0}$. Следовательно, $\int_{E_{0}}h^{+} d\mu + \int_{E_{0}}f^{-} d\mu + \int_{E_{0}}g^{-} d\mu = \int_{E_{0}}h^{-} d\mu + \int_{E_{0}}f^{+} d\mu + \int_{E_{0}}g^{+} d\mu$. + + Все интегралы в предыдущем равенстве конечны, их перегруппировка дает $\int_{E_{0}}h d\mu = \int_{E_{0}}f d\mu + \int_{E}g d\mu$. + + Так как $\mu(E \setminus E_{0})$, то доопределим на $E_{0} \cup (E \setminus E_{0})$ произвольным образом. Получаем равенство для интегралов из 3 пункта. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{theorem}[Лебег] + Пусть $f_{k} : E \to \overline{\R}$ измеримы и $f_{k} \to f$ почти всюду на $E$. Если существует интегрируемая на $E$ функция $g$, такая что $|f_{k}| \leq g \ \forall k$, то $\lim_{k \to + \infty}\int_{E}f_{k} d\mu = \int_{E}f d\mu$ +\end{theorem} + +\begin{proof} + Посколько при интегрируемости можно пренебрегать множествами меры 0, будем считать, что $f_{k} \to f$ всюду на $E$ и $g$ конечна на $E$. Так как $|f_{k}| \leq g$ на $E$, то все $f_{k}$ интегрируемы на $E$. Переходя к пределу при $k \to +\infty$, получаем $|f| \leq g$ на $E$. Следовательно, $f$ интегрируема. + + Определим $h_{k} = \sup_{m \geq k}|f_{m} - f|$ на $E$, тогда имеем $0 \leq h_{k+1}(x) \leq h_{k}(x)$ на $E$ и $\lim_{k \to +\infty}h_{k}(x) = \inf_{k}sup_{m \geq k}|f_{m}(x) - f(x)| = \overline{\lim}_{k \to + \infty}|f_{k}(x) - f(x)| = 0$. + Функция $h_{k}$ интегрируема на $E$ и $|h_{k}| \leq 2g$ ($|f_{k}| \leq g$, $|f| \leq g$). Применим теорему Леви к последовательности $\{2g - h_{k}\}$: + \[\lim_{k \to +\infty}\int_{E}(2g - h_{k}) d\mu = \int_{E}2g d\mu,\] + откуда $\lim_{k \to +\infty}\int_{E}h_{k} d\mu = 0$. Для завершения доказательства $\int_{E}|f_{k} - f| d\mu \leq \int_{E}h_{k} d\mu \to 0$ при $k \to +\infty$ и, значит, $\left|\int_{E}f_{k} d\mu - \int_{E}f d\mu\right| \leq \int_{E}|f_{k} - f| d\mu \to 0$. +\end{proof} + +\begin{theorem} + Пусть $f$ ограничена на $[a, b]$. $f$ интегрируема по Риману на $[a, b] \lra f$ непрерывна почти всюду на $[a, b]$. В этом случае функция интегрируема по Лебегу и оба интеграла совпадают. +\end{theorem} + +\begin{proof} + \begin{enumerate} + \item Пусть $f \in \mathcal{R}[a, b]$, $ J= \int_{a}^{b}f(x) dx$. Покажем, что $f$ непрерывна почти всюду на $[a, b]$ и $\int_{[a, b]}f d\mu = J$. + + Для разбиения $T = \{x_{k}\}_{k = 0}^{m}$ открытого на $[a, b]$ положим $M_{i} = \sup_{[x_{i-1}, x_{i}]} f$, $m_{i} = \inf_{[x_{i-1}, x_{i}]}f$ и определим простые функции + \[\phi_{T} = \sum_{i=1}^{m}m_{i}\cdot \I_{[x_{i-1}, x_{i})}, \ \psi_{T} = \sum_{i=1}^{m}\I_{[x_{i-1}, x_{i})} \cdot M_{i}.\] + В последний промежуток включим точку $b = x_{n}$. Очевидно, что $\int_{[a, b]} \phi_{T} d\mu = s_{T}$, $\int_{[a, b]} \psi_{T} d\mu = S_{T}$ (сумма Дарбу). + + Рассмотрим последовательность разбиений $\{T_{k}\}$, $T_{k} \subset T_{k+1}$ и $|T| \to 0$. Положим $\phi_{k} = \phi_{T_{k}}$, $\psi_{k} = \psi_{T_{k}}$. Имеем $\phi_{k}(x) \leq \phi_{k+1}(x) \leq f(x) \leq \psi_{k+1}(x) \leq \psi_{k}(x)$ для всех $x \in [a, b]$. Следовательно, существуют $\phi(x) = \lim_{k \to +\infty}\phi_{k}(x)$, $\psi(x) = \lim_{k \to +\infty}\psi_{k}(x)$. + + Функции $\phi, \psi$ измеримы (как предел измеримых функций) и если $|f| \leq M$, то $|\phi|, |\psi| \leq M$ и, значит, по теореме Лебега о мажорированной сходимости + + \[\int_{[a, b]}(\psi - \phi) d\mu = \lim_{k \to +\infty} \int_{[a, b]}(\psi_{k} - \phi_{k}) d\mu = \lim_{k \to +\infty}(S_{T_{k}} - s_{T_{k}}) = 0,\] + откуда следует, что $\psi - \phi = 0$ почти всюду на $[a, b]$. + + Пусть $Z = \{x : \phi (x) \neq \psi (x) \}$. Рассмотрим $x \not\in Z \cup (\bigcup_{k=1}^{+\infty}T_{k})$ и $\epsilon > 0$. Выберем $k$, так что $\psi_{k}(x) - \phi_{k}(x) < \epsilon$ и рассмотрим соотвествующее $T_{k}$. Выберем $(x - \delta, x + \delta)$, лежащий в одном отрезке разбиения $T_{k}$. Тогда $|f(t)-f(x)| < \psi_{k}(x) - \phi_{k}(x) < \epsilon \ \forall t \in (x - \delta, x + \delta)$. Это означает, что $f$ непрерывна в точке $x$. Следовательно, $f$ непрерывна почти всюду на $[a, b]$. По теореме Лебега + + \[J = \lim_{k \to + \infty}S_{T_{k}} = \lim_{k \to + \infty} \int_{[a, b]}\phi_{k} d\mu = \int_{[a, b]}f d\mu.\] + + \item Пусть $f$ непрерывна почти всюду на $[a, b]$ и $\epsilon > 0$. Рассмотрим $\{T_{k}\}$ -- разбиение $[a, b]$ на $2^{k}$ равных отрезка, тогда $T_{k + 1} \subset T_{k}$. Пусть $x$ не является точкой разрыва $f$ и $x \not\in \bigcup_{i=1}^{\infty}{T_{k}}$. Тогда, как и первом пункте , имеем $\phi_{k}(x) \uparrow f(x)$ и $\psi_{k} \downarrow f(x)$ (учли непрерывность в точке $x$). По теорме Лебега $S_{T_{k}} = \int_{[a, b]}\psi_{k} d\mu \to \int_{[a, b]}f d\mu$, $s_{T_{k}} = \int_{[a, b]}\phi_{k} d\mu = \int_{[a, b]}f d\mu$. Тогда, по критерию Дарбу $f \in \mathcal{R}[a, b]$. + \end{enumerate} +\end{proof} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/31lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/31lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..6d4751e4 --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/31lecture.tex @@ -0,0 +1,117 @@ +%17.05.23 + +\begin{problem} + Пусть $f$ локально интегрируема (по Риману) на $[a, b)$. Докажите, что + \begin{enumerate} + \item $f$ измерима на $[a, b)$; + \item если дополнительно $f \geq 0$ на $[a, b)$, то $f$ интегрируема на $[a, b) \lra \int_{a}^{\to b}f(x) dx$ сходится; + \item в общем случае $f$ интегрируема на $[a, b) \Rightarrow \int_{a}^{\to b} f(x) dx$ сходится, но следствие в обратную сторону неверно. + \end{enumerate} +\end{problem} + +\subsection{Формула суммирования Эйлера} + +\begin{theorem}[Эйлер] + Пусть $f: [1, +\infty) \to \R$ дифференцируема и $f'$ локально интегрируема на $[1, +\infty)$. Тогда для любого $n \in \N$ справедливо равенство + \[\sum_{k = 1}^{n} f(k) = \int_{1}^{n}f(t)dt + \frac{f(1) + f(n)}{2} + \int_{1}^{n}\left(\{t\} - \frac{1}{2}\right)f'(t)dt.\] +\end{theorem} + +\begin{proof} + Интегрирование по частям дает + \[\int_{k}^{k + 1}f(t)dt = f(t)(t - k)\left.\right|_{k}^{k + 1} - \int_{k}^{k + 1}(t - k)f'(t)dt = f(k + 1) - \int_{k}^{k + 1}\{t\}f'(t)dt.\] + + Суммируя полученные равенства от 1 до $n - 1$: + \[\int_{1}^{n}f(t)dt = \sum_{k = 2}^{n}f(k) - \int_{1}^{n}\{t\}f'(t)dt.\] + По формуле Ньютона-Лейбница $\frac{f(n) - f(1)}{2} = \int_{1}^{n}\frac{f'(t)}{2}dt \Rightarrow \frac{f(n) + f(1)}{2} = f(1) + \int_{1}^{n}\frac{f'(n)}{2}$. + + Складывая два равенства, получим искомое. +\end{proof} + +\begin{corollary} + Пусть $f: [1, +\infty) \to \R$ дифференцируема, $f$ монотонна и $f'(t) \to 0$ при $t \to +\infty$. Тогда для любого $n \in \N$ справедливо + \[\sum_{k = 1}^{n}f(k) = \int_{1}^{n}f(t)dt + C_{f} + \frac{f(n)}{2} + \epsilon_{n},\] + где $C_{f} = \frac{f(1)}{2} + \int_{1}^{+\infty}\left(\{t\} - \frac{1}{2}\right)f'(t)dt$, $\epsilon_{n} = \int_{n}^{+\infty}\left(\{t\} - \frac{1}{2}\right)f'(t)dt$. +\end{corollary} + +\begin{proof} + Функция $t \mapsto \{t\} - \frac{1}{2}$ -- периодическая функция с периодом 1 и интеграл по каждому равен 0. + \[\int_{1}^{x}\left(\{t\} - \frac{1}{2}\right)dt = \int_{[x]}^{x}\left(t - [x] - \frac{1}{2}\right)dt = \left.\frac{f^{2}}{2}\right|_{[x]}^{x} - \left([x] + \frac{1}{2}\right)t\left.\right|_{[x]}^{x} = \] + \[ = \frac{x^{2}}{2} - \frac{[x]^{2}}{2} - \left([x] + \frac{1}{2}\right)\{x\} = \frac{1}{2}\{x\}(x + [x]) - [x]\{x\} - \frac{1}{2}\{x\} = \frac{1}{2}(\{x\}^{2} - \{x\}).\] + Следовательно, $F(x) = \int_{1}^{x}(\{t\} - \frac{1}{2})dt$ ограничена и, значит, $\int_{1}^{+\infty}(\{t\} - \frac{1}{2})f'(t)dt$ сходится по признаку Дирихле. + + В частности, $C_{f} \in \R$ и $\epsilon \to 0$ (как <<хвост>> сходящегося интеграла). +\end{proof} + +\begin{example}[формула Стирлинга] + При $n \to +\infty$ справедлива оценка + \[n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n}.\] +\end{example} + +\begin{proof} + Применим следствие к функции $f(t) = \ln t$. Тогда + \[\sum_{k = 1}^{n} \ln k = n \ln n - n + 1 + C + \frac{\ln n}{2} + \epsilon_{n},\] + \[\ln n! = \ln(n^{n}e^{-n}\sqrt{n}e^{C + 1}e^{\epsilon_{n}}),\] + \[n! = c\sqrt{n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n}(1 + o(1)), \ n \to +\infty.\] + + Для нахождения константы $c$ воспользуемся формулой Валлиса: + \[\pi = \lim_{n \to +\infty}\frac{1}{n}\left(\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right)^{2}\] + Имеем + \[\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!} = \frac{2^{2n}(n!)^{2}}{(2n)!} = \frac{2^{2n}c^{2}n\left(\frac{n}{e}\right)^{2n}(1 + o(1))^{2}}{c \sqrt{2n}\left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}(1 + o(1))} = \frac{c\sqrt{n}}{\sqrt{2}}(1 + o(1)),\] + значит, + \[\pi = \lim_{n \to +\infty}\frac{1}{n}\frac{c^{2}n}{2}(1 + o(1))^{2} = \frac{c^{2}}{2} \Rightarrow c = \sqrt{2\pi}.\] +\end{proof} + +\begin{note} + Формулу можно уточнить, рассматривая подробно асимптотику $\epsilon_{n}$ + \[\epsilon_{n}=\int_{n}^{+\infty}\left(\frac{1}{2} - \{t\}\right)\frac{1}{t}dt = \left.\left(\frac{\{t\} - \{t\}^{2}}{2t}\right)\right|_{n}^{+\infty} - \frac{1}{2}\int_{n}^{+\infty}(\{t\} - \{t\}^{2})\left(-\frac{1}{t} + \frac{1}{2}\right)dt =\] + \[= \int_{n}^{+\infty}(\{t\} - \{t\}^{2})\frac{1}{2t^{2}}dt,\] + значит, + \[|\epsilon_{n}| \leq \int_{n}^{+\infty}\frac{dt}{t^{2}} = -\left.\frac{1}{t}\right|_{n}^{+\infty} = \frac{1}{n}.\] + \[n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n}\left(1 + O\left(\frac{1}{n}\right)\right).\] +\end{note} + +\subsection{Неизмеримые множества} + +Построим пример неизмеримого множества. + +\begin{example}[множество Витали] + На $[0, 1]$ введём отношение эквивалентности $x \sim y \lra x - y \in \Q \Rightarrow [0, 1] = \bigsqcup_{\alpha}H_{\alpha}$, $H_{\alpha}$ -- классы эквивалетности. + + $V$ -- множество, содержащее ровно один элемент из каждого $H_{\alpha}$ и только такие элементы (такое множество существует по аксиоме выбора). + + Пусть $\{r_{n}\}_{n = 0}^{+\infty}$ -- некоторая нумерация $\Q \cap [-1, 1]$, $r_{0} = 0$. Рассмотрим $V_{n} = V + r_{n}$. + \begin{enumerate} + \item $V_{n}$ попарно не пересекаются, так как + \[x \in V_{i} \cap V_{j} \Rightarrow x_{i} + r_{i} = x_{j} + r_{j} \Rightarrow x_{j} - x_{i} \in \Q.\] + + \item $[0, 1] \subset \bigsqcup_{n = 0}^{\infty}V_{n} \subset [-1, 2]$. + + (левое включение: $y \in [0, 1] \Rightarrow y \in H_{\alpha} \Rightarrow y = x_{\alpha} + r$, $r = y - x_{\alpha \in [-1, 1]} \Rightarrow \exists n (r - r_{n})$) + + (правое включение: $V \subset [0, 1]$ и $r_{n} \in [-1, 1]$) + + \item Пусть $\underbrace{A_{n}}_{\text{изм.}} \subset V_{n} \Rightarrow \mu(A_{n}) = 0$. + + ($A_{m} = A_{n} - r_{n} + r_{m} \subset V_{m}$, $\mu(A_{m}) = \mu(A_{n}) = 0$, $\mu(\bigsqcup_{n = 0}^{\infty}A_{n}) = \sum_{n = 0}^{\infty}\mu(A_{n}) = \sum_{n = 0}^{\infty}a \leq \mu([-1, 2]) = 3 \Rightarrow a = 0$) + \end{enumerate} +\end{example} + +\begin{theorem} + Если $E \subset \R$ и $\mu^{*}(E) > 0$, то $E$ содержит неизмеримое подмножество. +\end{theorem} + +\begin{proof} + \begin{enumerate} + \item Рассмотрим сначала случай $E \subset [0, 1]$. + + $E = E \cap (\bigsqcup_{n = 0}^{\infty}V_{n}) = \bigsqcup_{n = 0}^{\infty}(E \cap V_{n})$, $F_{n} := E \cap V_{n}$. + + $F_{n} \subset V_{n}$. Если все $F_{n}$ измеримы, то $\mu(F_{n}) = 0$. Следовательно, $\mu(E) = \sum_{n = 0}^{+\infty}\mu(F_{n}) = 0$, противоречие. Следовательно, существует $F_{n}$ неизмеримое. + + \item Общий случай $E \subset \R$. + + $E = \bigsqcup_{k = -\infty}^{\infty}(\underbrace{E \cap [k, k + 1)}_{E_{k}}) \Rightarrow \exists k: \mu^{*}(E_{k}) > 0$. + + $\overset{\sim}{E} = E_{k} - k \subset [0, 1]$ и $\mu^{*}(\overset{\sim}{E}) = \mu(E_{k}) > 0$. + \end{enumerate} +\end{proof} diff --git a/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/3lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/3lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..0e2f96a7 --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/3lecture.tex @@ -0,0 +1,82 @@ +%08.02.23 + +\section{Математические определения, +утверждения и доказательства.} + +\subsection{Определения.} + +\textit{Определения} описывают объекты и понятия. Если определение записано логической формулой, то оно имеет вид предиката $D(x),$ который истиннен тогда и только тогда, когда $x,$ удовлетворяет определению. + +Определения, данные словами ничуть не хуже определений, данных формулами. На первом курсе последние встречаются чаще, чтобы научить студентов изложению в кванторах. Так, определение предела можно переформулировать словами: <<число $a$ -- предел последовательности $\{x_n\}$, если любая окрестность числа $a$ содержит все элементы последовательности, начиная с некоторого номера>>. + +\subsection{Математические утверждения.} + +\begin{definition} + \textit{Математические утверждения} -- это утверждения, которые либо, истинны либо ложны. В отличие от определений, они не зависят от параметров. Если вы встретили утверждение вида <<если последовательность $x_n$ сходится, то она ограничена>>, то в силу вступает математическое соглашение о том, что в случае отсутствия в утверждении квантора по параметру, нужно поставить квантор всеобщности. +\end{definition} + +Среди математических утверждений выделяют \textit{теоремы} -- истинные утверждения. Как правило, теоремами называют значимые математические утверждения. Вспомогательные истинные математических утверждения называют \textit{леммами}, предложениями и просто утверждениями. Истинное утверждение называют критерием, если оно имеет вид $$\forall x (A(x) \leftrightarrow B(x)).$$ Критерии устанавливают необходимое и достаточное условие $B(x)$ для выполнения условия $A(x)$ или, что то же самое, устанавливает эквивалентность определений $A$ и $B.$ + +\begin{definition} + Рассмотрим утверждения вида + $$\forall x \ (A(x) \rightarrow B(x)) $$ + Условие $B(x)$ является \textit{необходимым} для выполнения $A(x),$ а условие $A(x)$ является \textit{достаточным} для выполнения $B(x).$ Условие $A(x)$ считается более \textit{сильным}, чем $B(x),$ а $B(x)$ считается более \textit{слабым}, чем $A(x).$ +\end{definition} + +\subsection{Доказательства.} + +\begin{definition} + \textit{Доказательство} -- это логическое рассуждение, которое убеждает в верности математического утверждения любого непредвзятого слушателя (читателя). +\end{definition} + +У доказательств есть формальное определение в математической логике, но оно требует введение формальных систем и фактически такие доказательства непроверяемы человеком. Математики любят пользоваться приведённым описанием доказательства, но в утилитарном смысле оно слабо годится. + +\subsubsection{Логические выводы.} + +Представьте, что известна истинность утверждений $A$ и $A \rightarrow B.$ Из этого можно сразу заключить истинность утверждения $B,$ ведь если $B$ ложно, а $A$ истинно, то импликация $A \rightarrow B$ ложна. В формальной логике у этого правила есть специальная запись: +$$\frac{A, \ A \rightarrow B}{B}$$ +Запись интерпретируется так: если доказано то, что выше черты, то доказано и то, что ниже черты. По аналогии с импликацией, то что выше черты называют посылкой, а то что ниже -- заключением. Мы не будем уделять внимание разным правилам вывода и акцентировать внимание на этой записи -- мы привели их здесь, чтобы описать общие идеи. +Первая состоит в том, что если известна истинность какого-то сложного (составного) логического высказывания, то используя преобразования формул или логические рассуждения можно доказать истинность или ложность частей этого высказывания, вплоть до элементарных высказываний (логических переменных). Например, пусть известно, что следующее высказывание истинно +$\overline{A} \wedge (A \vee B) $ +Отсюда сразу следует, что истинны операнды конъюнкции: $\overline{A}$ и $A \vee B.$ Из истинности первого операнда следует, что $A = 0,$ а из этого факта и истинности второго +операнда следует $B = 1.$ В процессе решения задач и доказательства теорем, не обязательно известна истинность сложного высказывания, как правило известна истинность нескольких фактов, например $\overline{A}$ и $A \vee B,$ из которых можно составить сложное высказывание и с помощью логических преобразований получить результаты, которые мы получили, но в то же время можно и не составлять формулу, а использовать логическое рассуждение. Поэтому в логике, полученное нами правило вывода записали бы так: +$$\frac{\overline{A}, \ A \vee B}{B}$$ + +\subsubsection{Контрапозиция.} + +\textit{Закон контрапозиции} гласит, что утверждение $A \rightarrow B$ равносильно (контрапозитивному) утверждению $\overline{B} \rightarrow \overline{A},$ поэтому если требуется доказать первое, вместо него достаточно доказать последнее. + +\subsubsection{Индукция.} + +\begin{definition} + Схемой доказательства по \textit{индукции} называют схему вида: + $$\frac{A(0), \ \forall n(A(n) \rightarrow A(n + 1))}{\forall n \ A(n)}.$$ + Первая посылка называется \textit{базой}, а вторая -- \textit{шагом} индукции или \textit{переходом.} +\end{definition} + +\subsubsection{От противного.} + +Мы полагаем, что если утверждение $B$ истинно, то оно не может быть одновременно ложным. Если предположить, что утверждение $A$ ложно и с помощью него доказать, что ложно утверждение $B,$ то есть доказать истинность $\overline{A} \rightarrow \overline{B},$ то в случае, если утверждение $B$ истинно, утверждение $A$ не может быть ложным -- иначе бы мы получили истинность $B$ и $\overline{B}.$ Отсюда вытекает способ \textbf{доказательства от противного.} + +\begin{definition} + \textit{Доказательством от противного} называют способ рассуждений, который можно описать так: + $$\frac{\overline{A} \rightarrow \overline{B}, \ B}{A}$$ +\end{definition} + +\subsubsection{Примеры и контрпримеры.} + +В случае если утверждение имеет вид $\exists x : A(x),$ его можно доказать, приведя пример (и доказав справедливость этого примера). А для опровержения утверждения с квантором всеобщности $\forall x : A(x)$ достаточно привести контрпример, т. е. пример $x,$ для которого $A(x) = 0.$ + +\subsubsection{Неконструктивные доказательства.} + +Утверждение вида $\exists x : A(x)$ не обязательно доказывать приводя пример, хотя это очень желательно, если таковой имеется -- наличие примера или контрпримера лучше всего убеждает в справедливости утверждения. Бывает так, что само утверждение доказать проще, чем найти пример и мы приведём здесь такое доказательство. + +\begin{example} + Существуют иррациональные $a, b,$ такие что $a ^ b$ рационально. +\end{example} + +\begin{proof} + Пусть $a = b = \sqrt{2}.$ Если число $(\sqrt{2})^{\sqrt{2}}$ рационально, то утверждение доказано, если нет, то возьмем $a = (\sqrt{2})^{\sqrt{2}}, b = \sqrt{2}:$ + $$(\sqrt{2})^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = 2.$$ + То есть, либо подходит одна пара чисел, либо другая, а какая из -- мы не знаем. +\end{proof} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/4lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/4lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..fd46991b --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/4lecture.tex @@ -0,0 +1,83 @@ +% 27.09.2023 + +\section{Теория графов} + +Будем считать, что $ \binom{V}{2} = \{ \{a, b\} \ | \ a, b \in V, \ a \neq b \}$ + +\begin{definition} + \textif{Обыкновенный (простой) граф} -- это упорядоченная пара: $(V, E),$ где $V $ -- множество вершин, $E$ -- множество рёбер, причем $E \subseteq \binom{V}{2}$ +\end{definition} + +Если не оговорено противного, то под графом мы понимаем простой неориентированный граф. Простой означает, что в графе нет петель и кратных рёбер, а неориентированный, что рёбра графа не имеют направлений. В случае если заменить в графе линии на стрелки, т. е. ребро — упорядоченная пара вершин, то получится ориентированный граф. Заметим, что множество вершин графа может вообще говоря быть бесконечным или пустым, но если не оговорено противного, то мы считаем, что множество вершин конечно и непусто. + +\begin{definition} +Зафиксируем граф $G(V, E).$ Вершины $u$ и $v$ называются смежными или соседями, если они образуют ребро: ${u, v} \in E.$ Рёбра $e$ и $f$ называются \textit{смежными,} +если они имеют общую вершину: $e \ \cap \ f ̸ \varnothing.$ Вершина $u$ инцидента ребру $e,$ если +$u \in e.$ Вершины $u$ и $v,$ \textit{инцидентные ребру} $e,$ называются его концами; говорят, +что $e$ \textit{соединяет} $u$ и $v.$ Рёбра часто записывают сокращённо: $uv$ вместо $\{u, v \}.$ +\end{definition} + +\begin{definition} + Зафиксируем два графа $G = (V, E), \ H = (W, F):$ + \begin{enumerate} + \item $G \cup H = (V \cup W, E \cup F)$ \\ + \item $G \cap H = (V \cap W, E \cap F)$ \\ + \item $\overline{G} = (V, \binom{V}{2} \backslash E)$ + \end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{definition} + \textit{Граф-пусть из $n$ ребер} $(n \geq 0)$ -- это граф, который состоит из вершин ${v_0, v_1, \dots , v_n}$ и рёбер ${v_i, v_{i+1}}.$ + + \textit{Граф-цикл из $n$ ребер} $(n \geq 3)$ -- это граф, который состоит из вершин ${v_0, v_1, \dots , v_n}$ и рёбер $\{v_i, v_{i+1}\},$ а также из ребра $\{v_n, v_1 \}$ + + \textit{Полный граф на $n$ вершинах} -- это граф, у которого $E = \binom{V}{2}$ + + \textit{Подграфом графа $G = (V, E)$} называется граф $G',$ если $V' \in V, \ E' \in E.$ Причем, если $V' \in V, \ E' = E \cap \binom{V}{2},$ то он называется \textbf{индуцированным.} +\end{definition} + +\begin{definition} + Назовем графы $G$ и $H$ \textit{изоморфными} и будем записать так: $G = (V, E) \cong H = (W, F),$ + если существует биекция $f: V \rightarrow W,$ для которой $\{u, v \} \Longleftrightarrow \{ f(u), f(v) \}$ +\end{definition} + +\begin{definition} + Путь длины $n$ в графе $G$ это подграф, который изоморфен $P_{n}.$ +\end{definition} + +\begin{definition} + \textit{Степень вершины $d(v) -$} количество ребер с концом в $v.$ +\end{definition} + +\begin{lemma} + Сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному числ его ребер. +\end{lemma} +\begin{proof} + Посчитаем $|\{(v, e) \ | \ e \text{ инцидентно } v \} | = 2 \cdot |E|.$ +\end{proof} + +\begin{definition} + \textif{Кликой на $n$ вершинах} называется подграф, изоморфный полному графу на $n$ вершинах. + + \textif{Анти-клика} или независимое множество на $n$ вершинах -- это индуцированный подграф, не имеющий ребер. +\end{definition} + +\begin{definition} + Граф $G$ называется \textif{связным,} если $\forall \ u, \ v \in V $ существует путь между $u$ и $v.$ +\end{definition} + +\begin{definition} + \textif{Компонентой связности} называется максимальный по включению связный подграф, то есть не существует связный подграф $H: G' \subset H \subseteq G.$ +\end{definition} + +\begin{lemma} + Пусть $G(V, E)$ -- связный граф и ребро $e$ лежит на цикле. Тогда граф $G' = (V, E \backslash {e})$ связный. +\end{lemma} +\begin{proof} +Перед доказательством введём вспомогательные обозначения. Пусть $P$ и $Q$ -- пути в графе $G, x, y$ — вершины, лежащие на пути $P,$ а $y$ и $z$ -- вершины, лежащие на пути $Q.$ Обозначим через $xPy$ -- подпуть пути $P,$ начинающийся с вершины $x$ и заканчивающийся в вершине $y;$ считаем, что вершины $p_0, p_1, \dots , p_n$ пути $P$ упорядочены так, что $x = p_i, y = p_j, i < j$ и соответственно $xPy = p_iPp_j$ -- путь на вершинах $p_i, \dots , p_j.$ Если в результате объединения путей $xPy$ и $yQz$ получится путь, то мы обозначаем этот путь через $xPyQz.$ Это обозначение переносится и на объединение нескольких путей, а если пути $P$ и $Q$ имеют единственную общую вершину -- общий конец, то путь, получившийся их объединением обозначим через $P Q.$ + +Пусть ребро $e$ лежит в подграфе-цикле $C.$ Обозначим через +$Q \subseteq C$ подграф-путь, получающийся из $C$ удалением ребра $e$ (с сохранением его концов). Зафиксируем все пути между всеми парами вершин перед удалением $e$ и рассмотрим путь $P$ с началом в вершине $w$ и концом в вершине $z.$ Если ребро $e$ не лежит на пути $P,$ то после его удаления этот путь не пострадает. Если же $e$ лежит на пути, то превратим этот путь в другой путь с помощью пути $Q.$ Упорядочим вершины $P;$ пусть вершина $x$ -- первая общая вершина путей $P$ и $Q$ (ближайшая к $w,$ возможно сама $w),$ а $y$ -- последняя общая вершина путей $P$ и $Q$ (ближайшая к $z,$ быть может сама $z).$ Вершины $x$ и $y$ определены, потому что пути $P$ и $Q$ имеют хотя бы две общие вершины -- концы ребра $e.$ Докажем, что $wPxQyPz$ -- путь, соединяющий вершины $w$ и $z,$ и не проходящий через ребро $e.$ Действительно, пути $wPx$ и $xQy$ не имеют общих вершин, кроме $x,$ поскольку иначе в пути $P$ нашлась бы вершина ближе к $w,$ чем $x,$ которая была бы общая с путём $Q,$ что противоречит выбору $x;$ симметрично пути $xQy$ и $yPz$ не имеют общих вершин, кроме $y$ (иначе нашлась бы общая вершина ближе к $z,$ чем $y);$ пути $wPx$ и $yPz$ не имеют общих вершин, поскольку это непересекающиеся подпути пути $P.$ + +Итак, мы доказали, что после удаления ребра $e$ в графе по-прежнему останутся пути между всеми парами вершин, т. е. граф останется связным. +\end{proof} diff --git a/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/5lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/5lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..5f95263c --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/5lecture.tex @@ -0,0 +1,59 @@ +%15.02.23 + +\subsection{Маршруты, пути, циклы, связность. Деревья, расстояния и диаметр, раскраски, Эйлеровы графы.} + +\begin{definition} + \textit{Маршрутом} в графе $G$ называется последовательность вершин $v_0, v_1, . . . , v_n,$ такая что $n \geq 0$ и $\{v_i, v_{i+1}\} \in E(G)$ для $ 0 \leq i \leq n - 1.$ \textit{Длина маршрута} -- это число рёбер, соединяющих вершины маршрута; оно совпадает с $n.$ Маршрут называется замкнутым, если $v_0 = v_n.$ Будем говорить, что ребро $\{x, y\} \in E(G)$ лежит на маршруте, если для некоторого $i$ выполняется $\{vi, vi+1\} = \{x, y\}.$ +\end{definition} + +\begin{lemma} + Если в графе $G$ есть маршрут между $U$ и $V,$ то есть путь между $U$ и $V.$ Причем, если есть два различных пути, то есть цикл. А также $\forall v \ d(v) \geq 2 \text{ есть цикл.}$ +\end{lemma} +\begin{proof} + Рассмотрим маршрут минимальной длины между $U$ и $V.$ Допустим, в нем повторяются вершины. + $$U=v_0e_1V_1e_2\dots v_n, v_0, \dots, v_n = V$$ + Отсюда видно, что мы можем сократить путь, если в нем повторяются вершины. Тогда $V_i \neq V_j \ i \neq j.$ + Тогда мы доказали существование пути. Пусть есть два различных пути. + $$U=v_0e_1V_1e_2\dots v_n = V$$ + $$U=w_0f_1w_1\dots w_l = V$$ + Возьмем минимальное $i: \ v_i \neq w_i$ и рассмотрим минимальное $j \geq i: \ v_j \in \{ w_i, \dots, w_l \}.$ Тогда есть цикл. Если у нас у каждой вершины степень хотя бы $2,$ то берем произвольную вершину и будем из нее ходить. +\end{proof} + + +\begin{lemma} + Пусть в графе $G$ не циклов. Тогда между любыми вершинами существует не более одного пути между ними и есть вершина степени не более $1.$ +\end{lemma} + +\begin{definition} + Граф $G$ называется \textit{ацикличным,} если в нем нет циклов. +\end{definition} + +\begin{theorem} + Для простого графа $G$ следующие утверждения эквивалентны: + \begin{enumerate} + \item $G$ -- минимально связный граф (т. е. при удалении любого ребра граф становится несвязным). + + \item $G$ -- cвязный граф, в котором $|E| = |V| - 1.$ + + \item $G$ -- ациклический связный граф. + + \item $G$ -- граф, любая пара вершин которого связана единственным путём. + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof} + Докажем эквивалентность, установив импликации по цепочке: + $$(2) \Longrightarrow (1) \Longrightarrow (3) \Longrightarrow (4) \Longrightarrow (2).$$ + Импликация $(2) \Longrightarrow (1)$ верна, так как из связного графа с $|V| - 1$ ребром нельзя удалить ребро без нарушения связности. + + Установим импликацию $(1) \Longrightarrow (3),$ воспользовавшись контрапозицией, т. е. докажем $\neg (3) \Longrightarrow \neg(1).$ Отрицание условия $(3)$ означает, что граф несвязен или имеет цикл, а условия $(1),$ что граф или несвязен или связен, но не минимиально. Если граф несвязен, то импликация $\neg (3) \Longrightarrow \neg (1)$ выполняется, поэтому сосредоточимся на случае связного графа, который содержит цикл. В лемме мы установили, что при удалении ребра из цикла в связном графе, граф остаётся связным, т. е. граф до удаления ребра был не минимально связным. + + Также докажем $(3) \Longrightarrow (4),$ доказав контрапозицию $\neg (4) \Longrightarrow \neg (3).$ Если выполнено условие $\neg (4)$ и между какой-то парой вершин нет ни одного пути, то граф несвязный и справедливо условие $\neg (3).$ + + Осталось доказать импликацию $(4) \Longrightarrow (2).$ Проведём доказательство индукцией по числу вершин в графе. База: при $|V| = 1$ в графе нет рёбер и в вершину в себя есть единственный путь длины $0.$ Шаг. Пусть утверждение верно для всех графов на $n$ вершинах и пусть $G$ -- произвольный граф, удовлетворяющий условию $(4),$ в котором $V(G) = n + 1.$ Выберем в $G$ самый длинный путь $P,$ конец которого обозначим через $z.$ Докажем от противного, что вершина $z$ имеет степень $1.$ Допустим, что у вершины $z$ есть ещё сосед $x,$ кроме предшествующей ей вершины $y$ на пути $P.$ Если вершина $x$ не лежит на пути $P,$ то к пути $P$ можно добавить ребро $zx$ и сделать его длиннее -- противоречие с выбором $P.$ Если же $x$ лежит на пути $P,$ то, поскольку $x \neq y,$ в графе есть два пути, соединяющие вершины $x$ и $z: xP z$ и ребро $xz,$ что противоречит условию $(4).$ Удалив вершину $z$ из графа $G$ получим связный граф $G'$ на $n$ вершинах,для которого справедливо предложение индукции: $|E(G′)| = n - 1,$ поскольку между любой парой вершин $G'$ существует единственный путь. Вернув $z$ на место, получаем, что мы увеличили на единицу и число вершин и число рёбер графа $G′,$ а потому доказали, что $|E(G)| = |V(G)| - 1;$ шаг индукции доказан. +\end{proof} + + +\begin{definition} + Зафиксируем в роли цветов числа от $1$ до $k.$ \textit{Раскраска графа} -- это функция $f,$ которая ставит в соответствие каждой вершине графа некоторый цвет, т. е. $f(u) \in \{1, \dots , k\}.$ Раскраска $f$ называется \textit{правильной}, если концы всех рёбер покрашены в разные цвета, т. е. для каждого ребра $\{u, v\}$ справедливо $f(u) \neq f(v).$ Минимальное число цветов, в которое можно правильно раскрасить граф $G$ называется \textit{хроматическим числом} и обозначается через $\chi(G).$ +\end{definition} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/6lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/6lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..28261b76 --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/6lecture.tex @@ -0,0 +1,86 @@ +%16.02.23 + + +\subsection{Эйлеровы графы, Двудольные графы.} + +\begin{definition} + Граф $G$ называется \textit{эйлеровым,} если существует замкнутый маршрут, проходящий по всем рёбрам только один раз. +\end{definition} +\begin{theorem}(Критерий Эйлерова графа.) +Связный граф эйлеров $\Lra$ степень каждой вершины четно. +\end{theorem} + +\begin{proof} + Рассмотрим замкнутый маршрут, проходящий по ребрам не более одного раза максимальной длины. 1)Хотя бы один такой есть, так как степень всех вершин хотя бы 2. 2) Пусть ребро $e$ нет в маршруте. Тогда можно считать, что один из концов $e$ -- это какой-то $v_j$ (так как есть связность). в графе $G \backslash {e_1, e_2, \dots, e_n}$ все степени вершин четно, значит, в нем есть замкнутый маршрут $v_0e_1\dots v_n.$ Значит, мы получили ейлеров граф. +\end{proof} + +\begin{lemma} + Хроматическое число графа $G$ не больше 2, тогда и только тогда, когда в $G$ все циклы четной длины. +\end{lemma} + +\begin{definition} + Граф $G = (V, E)$ называется двудольным, если существует такое разбиение вершин, что $V = A \cup B, A \cap B = \varnothing$ и $\forall \ e \in E$ один конец лежит в $A,$ другой -- в $B.$ Он называется полным, если проведены все ребра между множествами $A, B.$ +\end{definition} + +\subsection{Паросочетания, функции.} + +\begin{definition} + \textit{Паросочетание} в $G$ - это набор попарно непересекающихся ребер. $$S \subseteq E: \forall \ e, f \in S \Longrightarrow e \cup f = \varnothing.$$ + Паросочетание называется \textit{совершенным,} если $$\forall \ v \in V \ \exists e \in S \ v \in e.$$ +\end{definition} + +\begin{definition} + \textit{Ориентированный граф} $\ G = (V, E),$ где $V -$ множество, а $E = \{ (a, b) | a, b \in V, a - \text{ первый конец, } b - \text{ второй конец.}$ Входящей степень вершины $v$ называется $$d_{m} = \{ e \in E | e = (..,v) \}.$$ А выходящей степенью $$d_{int} = \{ e \in E | e = (v, ..) \}.$$ +\end{definition} + +\begin{definition} + Пусть $A, B$ -- множества. Тогда функция из $A$ в $B$ -- это ориентрованный двудольный граф с долями $A$ и $B.$ Причем $$\forall e \in E, \ e = (a, \ b), \ a \in A, b \in B$$ + $$\forall a \in A \ |d_{m}(v)| \leq 1.$$ + Пишут, что $f(a) = b, $ если $(a, \ b) \in E,$ а также говорят, что $b$ является образом $a,$ $a$ лежит в прообразе $B.$ + + Областью определения называется, $Dom(f) = \{ a \in A | d_{m}(a) = 1 \}$ + + Множеством значений называется, $Range(f) = \{ b \in B | d_{int}(b) \geq 1 \}.$ + + Пусть задано $X \subseteq A,$ тогда + $$f(X) = \{ b \in B | \exists a \in X \ f(a) = b \}.$$ + + Пусть задано $Y \subseteq B,$ тогда + $$f(X) = \{ a \in A | \exists b \in Y \ f(a) = b \}.$$ + +\end{definition} + +\begin{definition} + Всюду определенной функцией или отображение -- это функция $f$ с $Dom(f) = A.$ +\end{definition} + +\begin{definition} + Отображение $f$ называется \textit{сюръекцией,} если $Range(f) = B.$ А если $\forall a \neq c \in A \Longrightarrow \ f(a) \neq f(c),$ то оно называется \textit{инъекцией.} Если это отображение и инъекция, и сюръекция, то его называют биекцией. +\end{definition} + +\begin{definition} + Пусть есть паросочетание $S.$ Тогда \textit{чередующаяся цепь} -- это путь, который начинается к непокрытой вершине $a \in A$ и поочередно идет по ребрам из $S$ и по ребрам не из $S.$ +\end{definition} + +\begin{definition} + \textit{Увеличивающая чередующая цепь} -- чередующаяся цепь нечетной длины. +\end{definition} + +\begin{lemma} + Если для паросочетания $S$ найдена увеличивающася чередующася цепь, то она не максимальна +\end{lemma} +\begin{proof} + Просто заменяем нечетные ребра на четные. +\end{proof} + +\begin{theorem} + (Теорема Холла 1935 г.) В двудольном графе $G = (A \cup B, C)$ есть совершенное паросочетание тогда и только тогда, когда + $$\forall M \subseteq A \ |E(M)| \geq |M|.$$ + Где $E(M) = \{ b \in B| \exists a \in M, e \in E, e = \{a, b\}.$ +\end{theorem} + +\begin{proof} + Необходимость очевидна. Докажем достаточность. Рассмотрим максимальное паросочетание $S,$ пусть оно не совершенно, то есть вершина $a$ не покрыта $S.$ Рассмотрим всевозможные чередующиеся цепи с началом в $a.$ Пусть все они заканчиваются в доле $A.$ Обозначим за $X \subseteq A- $ концы всех чередующихся цепей из $a,$ $Y -$ предпоследние вершины на этих цепях. + $$M = (X \cup \{ a \} ) \geq X \cup \{ a \} \geq Y.$$ +\end{proof} + diff --git a/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/7lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/7lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..a8420653 --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/7lecture.tex @@ -0,0 +1,68 @@ +%22.02.23 + +\section{Комбинаторика.} + +\subsection{Правила сложения и правило умножения.} + +Правило сложения основано на следующей лемме. +\begin{lemma} + Пусть есть два конечных непересекающихся мн-ва $A, B.$ Тогда $|A \cup B| = |A| + |B|.$ +\end{lemma} + +Правило сложения основано на другой лемме. + +\begin{lemma} + Пусть $A, B - $ конечные множества, тогда $|A \times B| = |A| \cdot |B|.$ +\end{lemma} + +\begin{proof} + Выпишем таблицу, по столбцам которой расположены элементы множества $A,$ а по строкам -- элементы множества $B.$ +\end{proof} + +\begin{example} + Сколько есть шестизначных чисел, у которых соседние цифры имеют разную четность. +\end{example} + +\begin{solution} + Разбиваем на два непересекающихся множества и используем лемму. Тогда из правил произведения и суммы ответ $5 ^ 6 + 4 \cdot 5^5.$ +\end{solution} + +\begin{example} + Сколькими способами из $20$ студентов можно выбрать старосту и его заместителя? +\end{example} + +\begin{solution} + Тут уже нельзя применить сразу правило умножения. Можно выписать дерево возможных выборов, получим $20 \cdot 19.$ +\end{solution} + +Правило биекций или разбиение на пары основано на следующей лемме. + +\begin{lemma} + Пусть $A, B$ -- конечные множвества. Тогда $|A| \geq |B| \Longleftrightarrow$ есть сюрьекция из $A$ в $B;$ $|A| \leq |B| \Longleftrightarrow$ есть инъекция из $A$ в $B;$ $|A| = |B| \Longleftrightarrow$ есть биекция из $A$ в $B.$ +\end{lemma} + +\begin{definition} + Пусть есть множество $A.$ Тогда множество всех подмножеств множества $A$ обозначается $2 ^ A.$ +\end{definition} + +\begin{lemma} + Если $S -$ множество и есть биекция из $S$ в $A \times B.$ Тогда $|S| = |A \times B|.$ +\end{lemma} + +\begin{definition} + Пусть есть множество $A = \{ a_1, \dots, a_n \}.$ Тогда выберем из него $k$ элементов. + \begin{enumerate} + \item $k-$Размещение без повторений $A_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!}.$ Это такой выбор, при котором важен порядок и нельзя выбирать несколько раз один и тот же элемент. + + \item $k-$Размещение с повторениями $\overline{A_{n}^{k}} = n ^ k.$ Это такой выбор, при котором важен порядок и можно выбирать несколько раз один и тот же элемент. + + \item Сочетание без повторений $\overline{C_{n} ^ {k}} = C_{m + n - 1} ^ {m}.$ Это такой выбор, при котором не важен порядок и нельзя выбирать несколько раз один и тот же элемент. + + \item Сочетание с повторениями -- это число $k$ элементных подмножеств множества $A.\binom{n}{k} = C_{n} ^ {k}$ + \end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{definition} + Перестановка $n-$элементного множества -- это $n-$размещение без повторений $A, |A| = n.$ +\end{definition} + diff --git a/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/8lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/8lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..cfb84ddd --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/8lecture.tex @@ -0,0 +1,113 @@ +\subsection{Шары и перегородки.} + +Наша цель -- посчитать количество $k-$ сочетаний из $n$ элементов из $\{1, \dots, n\}$ с повторами. Заметим, что эта задача эквивалентна следующей. + +(если положить $x_i = \text{ сколько раз $i$ входит в сочетание})$ + +\begin{problem} + (Муавр) Найти количество неотрицательных решений уравнения $$x_1 + x_2 + \ldots + x_n = k, k \in \N$$ +\end{problem} + +\begin{solution} + Представим $k$ как последовательные $k$ единиц. Тогда при выборе мы должны из <<отделить>> $n - 1$ скобками. Отсюда ответ $\binom{n - 1 + k}{k}$ +\end{solution} + +\subsection{Свойства $\binom{n}{k}.$} + +Для начала рассмотрим следующую задачу. + +\begin{problem} + (Линейный город) Сколько способов добраться из $A(0, 0)$ до $B(m,n) m \in \N, n \in \N ,$ если разрешено только двигаться вправо и вверх. +\end{problem} + +\begin{solution} + Мы должны пройти $m \in \N$ шагов направо, $n \in \N$ шагов вверх. Тогда надо посчитать число последовательностей из $m$ нулей и $n$ единиц, а оно равно $\binom{m + n}{m}.$ +\end{solution} + +Из этой задачи вытекает важное свойство (если посмотрим на предпоследний шаг до точки $B)$: +$$\binom{n}{k} = \binom{n - 1}{k} + \binom{n - 1}{k - 1}.$$ + +Это тождество можно также показать, непосредственно пользуясь формулой для $\binom{n}{k}.$ + +Эта задача также доказывает корректность так называемого +\textit{треугольника Паскаля.} + +\begin{problem} +Доказать, что верно + $$\binom{n}{k} = \binom{n}{n - k}$$ +\end{problem} + +\begin{solution} + Можно это показать, пользуясь формулой для чисел сочетаний. Это также несложно следует из того, что выбор $k$ элементов однозначное определяет выбор $n - k$ элементов. +\end{solution} + +Это свойство показывает симметричность треугольника Паскаля. + +\begin{theorem} +Доказать, что + $$(a + b) ^ n = \sum_{k = 1} ^ {n} \binom{n}{k} a ^{n - k} b^{k}$$ +\end{theorem} + +\begin{proof} + Можно это показать по индукции. Покажем это комбинаторно. Заметим, что коэффициент при каждом слагаемом $a^{n - k} b ^ {k}$ равен $\binom{n}{k},$ что доказывает это утверждение. +\end{proof} + +\begin{corollary} + $$\sum_{k = 1} ^ {n} \binom{n}{k} = 2 ^ n.$$ + $$\binom{n}{0} - \binom{n}{1} + \binom{n}{2} - \ldots + (-1) ^ n \binom{n}{n} = 0, n > 0.$$ +\end{corollary} + +\begin{proof} + Доказывается рассмотрением + $$(1 + 1) ^ n = 2 ^ n$$ + $$(1 - 1) ^ n = 0 ^ n = 0.$$ +\end{proof} + +\begin{proposition} +$$n \cdot 2^{n-1} = \sum_{k = 0}^{n}k\binom{n}{k}$$ +$$\binom{2n}{n} = \sum_{k = 0} ^ {n} \binom{n}{k} ^ 2$$ +\end{proposition} + +\begin{proof} +Для первого тождества воспользуемся этим тождеством: +$$k\binom{n}{k} = n \binom{n - 1}{k - 1}.$$ +Или можно выражение в правой сложить с таким же выражением, но расположенном в обратном порядке. Для второго тождества разобьем множество из $2n$ элементов на два множества из $n$ элементов, тогда оно следует из определения числа сочетаний. +\end{proof} + +\begin{lemma} + $a_0 + a_1 + \ldots + a_n = 2 ^ n \Longrightarrow max \{a_j \} \geq \frac{2^n}{n + 1}$ +\end{lemma} + +\begin{proof} + Это верно, ведь в противном случае сумма этих чисел меньше $2^n.$ +\end{proof} + +\begin{proposition} + Числа сочетаний $\binom{n}{k}$ возрастает при $k = 0, 1, \ldots, [\frac{n}{2}]$ и убывает на остальных $k.$ А также $$\binom{2n}{n} \geq \frac{2^{2n}}{n + 1}$$ +\end{proposition} + +\begin{proof} + Докажем пользуясь формулой: + $$\binom{n}{k} > \binom{n}{k - 1} \Longleftrightarrow n - k + 1 > k.$$ + Второе утверждение следует из леммы. +\end{proof} + +\subsection{Числа Фибоначчи.} + +\begin{definition} + Количества последовательностей из $0$ и $1$ длины $n,$ в которых нет подпоследовательности $11$ называется $n-$тым \textit{числом Фибоначчи.} +\end{definition} + +Обозначим последовательность Фибоначчи за $F_{n}.$ Тогда, если последовательность заканчивается на $0,$ то оставшаяся часть определяется $F_{n - 1},$ если заканчивается на $1,$ то перед ним стоит $0$ и получим $F_{n - 2}.$ Из правила суммы получаем: +$$F_{n} = F_{n - 1} + F_{n - 2}.$$ + +\subsection{Числа Каталана.} + +\begin{definition} + Рассмотрим последовательность из $2n$ чисел, которые лежат в $\{ -1, 1\},$ такую, что + $$\sum_{j = 1} ^ {2n} a_j = 0$$ + $$\forall \ k \ \sum_{j = 1}^{k} a_j \geq 0.$$ + Число таких последовательностей называется $n-$ым \textit{числом Каталана.} +\end{definition} + +Обозначим числа Каталана за $\{ C_n \}.$ \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/9lecture.tex b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/9lecture.tex new file mode 100644 index 00000000..139e69fe --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/lectures/9lecture.tex @@ -0,0 +1,51 @@ +\subsection{Формула включений и исключений.} + +\begin{definition} + \textit{Характеристической функцией} множества $A$ объемлющего множества $U$ называется функция $\chi_{A}: U \rightarrow \{0, 1\}.$ Причем $\chi_{A}(x) = 1 \lra x \in A.$ +\end{definition} + +\begin{theorem} + Пусть даны множества $A_1, A_2, \ldots, A_n \subseteq U.$ + Тогда $$|\overline{A_1} \cap \overline{A_2} \ldots \cap \overline{A_n}| = |U| - |A_1|- \ldots - |A_n| + |A_1 \cap A_2| + \ldots + (-1)^n |A_1 \cap A_2 \ldots A_n|.$$ +\end{theorem} + +\begin{proof} +Докажем утверждение с помощью индикаторной функции. Понятно, что: +$$\chi_{\overline{A}} = 1 - \chi_A$$ +$$\chi_{A\cap B} = \chi_A \cdot \chi_B$$ +$$|A| = \sum_{i \in U} \chi_A(i)$$ +$$\chi_{|\overline{A_1} \cap \overline{A_2} \ldots \cap \overline{A_n}|} = \chi_{\overline{A_1}} \cdot \ldots \cdot \chi_{\overline{A_n}} = (1 - \chi_{A_1}) \cdot (1 - \chi_{A_2}) \ldots (1 - \chi_{A_n}) = $$ +$$= 1 - \chi_{A_1} - \chi_{A_2} - \ldots + (-1)^n \chi_{A_1 \cap A_2 \ldots A_{n}}$$ +Тогда просуммируем эту функцию по всем элементам из $U,$ отсюда получим требуемое. +\end{proof} + +\begin{example} + Найти количество счастливых билетов, то есть билетов, у которых сумма первых трех цифр равна сумме последних трех. +\end{example} + +\begin{solution} + Пусть у нас есть билет $\overline{abcdef}.$ Тогда сопоставим ему число $\overline{abc(9-d)(9-e)(9-f)}.$ Тогда его сумма цифр равна $27.$ То есть задача сводится к поиску решений системы: + $$\left\{\begin{array}{l} + a + b + c + \overline{d} + \overline{e} + \overline{f} = 27\\ + 0\leq a, b, c, \overline{d}, \overline{e}, \overline{f} \leq 9. + \end{array}\right.$$ + Решений в неотрицательных целых числах $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 27$ всего $\binom{32}{5}.$ Посчитаем число решений таких, что у нас ровно какая-то переменная хотя бы $10.$ Тогда уменьшим эту переменную на $10$ получим другое уравнение в неотрицательных целых числах: + $$y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5 + y_6 = 17.$$ Если ровно две переменные хотя бы $10,$ то аналогично уравнение сводится к следующему в целых неотрицательных числах: + $$y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5 + y_6 = 7.$$ + Больше двух переменных, которые хотя бы $10$ быть не может, так как $27 < 30.$ Тогда по формуле включений и исключений получим ответ. +\end{solution} + +\begin{example} + Пусть есть множества $A, B; |A| = n, |B| = k.$ Посчитаем количество функций $f: A \rightarrow B,$ таких что $f$ -- отображение, инъекция, сюръекция, биекция +\end{example} +\begin{solution} + \underline{Отображения.} Для каждого элемента $A$ есть ровно $k$ вариантов. Тогда по правилу произведения $k^n$ отображений. + \\ + \underline{Частичных функций.} Тогда аналогично получим $(k + 1) ^ n.$ + \\ + \underline{Биекций.} Значит, $k = n.$ Тогда по правилу произведения будет ровно $n!$ биекций. + \\ + \underline{Инъекций.} Значит, $n \leq k.$ Пронумеруем элементы каждого из множеств. Тогда таких функций ровно $A_{k}^{n}.$ + \\ + \underline{Сюръекций.} Пронумеруем элементы каждого из множеств. Пусть множество $D_i = \{ f: A\rightarrow B |f^{-1}(i) = \varnothing\}.$ Тогда искомое число функций равно $|\overline{D_1} \cap \overline{D_2} \ldots \cap \overline{D_n}|.$ А это вычислим по формуле включений и исключений. +\end{solution} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/logo_ltc.png b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/logo_ltc.png new file mode 100644 index 00000000..3938067a Binary files /dev/null and b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/logo_ltc.png differ diff --git a/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/main.tex b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/main.tex new file mode 100644 index 00000000..898ecffd --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/main.tex @@ -0,0 +1,27 @@ +\input{header} + +\begin{document} + \input{title_page} + + \newpage + \hypertarget{intro}{} + \tableofcontents + \linespread{1} + \selectfont + + \newpage + \input{lectures/1lecture} + \input{lectures/2lecture.tex} + \input{lectures/3lecture.tex} + \input{lectures/4lecture.tex} + \input{lectures/5lecture.tex} + \input{lectures/6lecture} + \input{lectures/7lecture} + \input{lectures/8lecture} + \input{lectures/9lecture} + \input{lectures/10lecture} + \input{lectures/11lecture} + \input{lectures/12lecture} + \input{lectures/13lecture} + %%\input{lectures/14lecture} +\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/title_page.tex b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/title_page.tex new file mode 100644 index 00000000..23edbeb3 --- /dev/null +++ b/Lectures/1_Semester/Logic_Algebra_and_Combinatorics/2023_Ilyinskiy/title_page.tex @@ -0,0 +1,27 @@ +\begin{titlepage} + \clearpage\thispagestyle{empty} + \centering + + \textbf{Московский физико-технический институт \\ Физтех-школа прикладной математики и информатики} + \vspace{33ex} + + {\textbf{\FullCourseNameFirstPart}} + + \SemesterNumber\ СЕМЕСТР + \vspace{1ex} + + Лектор: \textit{\LecturerInitials} + + \includegraphics[width=0.4\textwidth]{logo_ltc.png} + + \begin{flushright} + \noindent + Автор: \href{\VKLink}{\textit{\AuthorInitials}} + \\ + \href{\GithubLink}{\textit{Проект на Github}} + \end{flushright} + + \vfill + \CourseDate + \pagebreak +\end{titlepage} \ No newline at end of file diff --git a/config.json b/config.json index 293c2730..ef791590 100644 --- a/config.json +++ b/config.json @@ -36,5 +36,6 @@ ], "ovatik": [ "l/2/Algebra_and_Coding_Theory/2023_Vyalyj" - ] + ], + "atsedk": ["l/1/logic_algebra_and_combinatorics/2023_Ilyinskiy"] }